Grade 10

Odredi najveću moguću površinu pravokutnika upisanog u pravokutni trokut s katetama duljina 5 i 12 tako da se dva vrha pravokutnika nalaze na hipotenuzi, a po jedan vrh na svakoj kateti tog trokuta.

Odredi broj različitih vrijednosti koje poprima izraz $$\frac{n^2 - 2}{n^2 - n + 2},$$ za $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 2026\}$.

Neka je $m$ prirodan broj i neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $$m^2 < a < m^2 + m \quad \text{i} \quad m^2 < b < m^2 + m.$$ Odredi sve prirodne djelitelje $d$ umnoška $ab$ za koje vrijedi $m^2 < d < m^2 + m$.

Blok je figura koja se sastoji od šest jediničnih kvadrata kao što je prikazano na slici. Odredi najveći mogući broj blokova koje je moguće postaviti na ploču dimenzija $6 \times 11$ tako da svaki prekriva točno šest polja. Blokovi se mogu rotirati i ne smiju se preklapati.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Pravac $HM$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $A_1$ i $B_1$. Neku su $A_2$ i $B_2$ redom nožišta okomica iz $A_1$ i $B_1$ na pravac $CH$. Dokaži da se pravci $AB_2$ i $BA_2$ sijeku na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$\begin{aligned} xy + 1 &= 2z \\ yz + 1 &= 2x \\ zx + 1 &= 2y. \end{aligned}$$

U stožac osnovke polumjera 1 i visine duljine $2\sqrt{2}$ upisan je kvadar takav da jedna strana kvadra pripada osnovki stošca, a vrhovi suprotne strane pripadaju plaštu stošca.

Ako je strana kvadra koja pripada osnovki stošca kvadrat, koliko je najveće oplošje koje takav kvadar može imati?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Neka je $M$ točka unutar trokuta $ABC$ na simetrali kuta $\measuredangle BAC$. Pravci $AM$, $BM$ i $CM$ ponovo sijeku opisanu kružnicu trokuta $ABC$ redom u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Neka je $P$ sjecište dužina $\overline{A_1C_1}$ i $\overline{AB}$ te $Q$ sjecište dužina $\overline{A_1B_1}$ i $\overline{AC}$.

Dokaži da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.

U svako polje pravokutne ploče s 3 stupca i 14 redaka upisan je simbol $X$ ili $O$. Za ploču kažemo da je balansirana ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• svaki $3 \times 3$ kvadrat sadržava najviše 5 simbola $X$ i najviše 5 simbola $O$
• u svakom $3 \times 3$ kvadrati nijedna dijagonala ni redak ni stupac ne sadržavaju tri ista simbola.

Za balansiranu ploču $P$, centar od $P$ je ploča s 3 stupca i 12 redaka dobivena uklanjanjem prvoga i posljednjega retka iz $P$.

Među svim balansiranim pločama koliko postoji različitih centara?

Baka Jagoda prodaje trešnje te je uočila da postoji linearna ovisnost između cijene jednog kilograma trešanja i količine prodanih trešanja u danu: svakim povećanjem cijene za 1 € po kilogramu bi u danu prodala 3 kilograma trešanja manje. Najveći iznos od prodaje trešanja bi ostvarila kada bi ih prodavala po cijeni od 3.6 € po kilogramu. Jednog dana unuka Višnja zamijenila je baku na tržnici, sama odredila cijenu kilograma trešanja i prodala trešnje za 18.6 €. Po kojoj je cijeni Višnja mogla prodavati trešnje?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje broj $$2n^4 + 19n^2 + 9$$ ima točno 6 pozitivnih djelitelja.

Neka su stepenice dio kvadratne ploče dimenzija $111 \times 111$ koji se sastoji od prvih $k$ polja u $k$-tom retku za $k = 1, 2, \ldots, 111$. Mogu li se stepenice podijeliti na 111 kvadrata?

(Kvadrati se trebaju sastojati od jediničnih polja i ne moraju biti sukladni.)

Zadan je trapez $ABCD$ kojemu su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti. Simetrala dužine $\overline{AD}$ siječe pravac $BC$ u točki $P$, a simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe pravac $AD$ u točki $Q$. Dokaži da je $\measuredangle DPA = \measuredangle BQC$.

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?

Odredi polumjer osnovke stošca čija je izvodnica duljine 1, tako da razlika površina njegovog plašta i njegove osnovke bude maksimalna.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Manda je, za odabrani prirodni broj $n > 3$, izradila sve stranice i sve dijagonale pravilnog $n$-terokuta od tankog pruća. Zatim je Ivan tih $\frac{1}{2}n(n - 1)$ štapova podijelio u grupe po tri štapa tako da se od svake grupe može napraviti trokut.

Za koje je brojeve $n$ to moguće?

Simetrala kuta $\measuredangle ACB$ siječe stranicu $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u točki $K$, a opisanu kružnicu u točki $L$ ($L$ je različito od $C$). Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $S$ središte opisane kružnice trokuta $IKB$. Neka je $P$ sjecište pravca $SL$ i stranice $\overline{AB}$. Dokaži da je pravac $SK$ tangenta kružnice opisane trokutu $KLP$.

Postoji li skup od 100 prirodnih brojeva takav da za svaka četiri elementa tog skupa njihov umnožak dijeli zbroj njihovih četvrtih potencija?

Koeficijenti $a$, $b$ i $c$ kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$ tri su uzastopna prirodna broja (u nekom od šest mogućih poredaka), a njezina su rješenja realni brojevi. Dokaži da je jedno od rješenja broj $-1$.

Dvije kružnice polumjera 1 i 3 diraju se izvana u točki $A$, a njihova vanjska zajednička tangenta ih dira u točkama $B$ i $C$. Odredi zbroj kvadrata duljina stranica trokuta $ABC$.

Postoje li prirodni brojevi $k$ i $m$ takvi da je $2022^k + 2022^m$ kvadrat prirodnog broja?

Štapić je kvadar dimenzija $1 \times 1 \times 2$, a posuda je tijelo dobiveno uklanjanjem kockice $1 \times 1 \times 1$ iz kvadra dimenzija $3 \times 3 \times 2$ na sredini jedne od dviju polovica $3 \times 3 \times 1$. Ako je dopušteno koristiti koliko god je potrebno štapića i posuda, koliko je najmanje takvih tijela potrebno za sastavljanje kocke dimenzija $303 \times 303 \times 303$ bez rupa i preklapanja? Tijela je dopušteno rotirati.

Dani su pozitivni realni brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $abc = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{a + c\sqrt{a}}{a^2b + c + 2} + \frac{b + a\sqrt{b}}{b^2c + a + 2} + \frac{c + b\sqrt{c}}{c^2a + b + 2} \leq \frac{1}{2}(a + b + c).$$

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$x + \frac{1}{y - x} = 1 \quad \text{i} \quad y + \frac{1}{x - y} = 2.$$

Neka je $(a, b, c)$ trojka prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 + b^2 = c^2$.

Dokaži da broj $\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ nije prirodan te da je veći od 8.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| < |BC|$ i $\measuredangle BAC = 45^{\circ}$. Tangente na kružnicu opisanu tom trokutu u točkama $B$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Pravci $AC$ i $BD$ se sijeku u točki $E$ te vrijedi $|EA| = 3$ i $|AC| = 8$. Odredi površinu trokuta $CDE$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a \cdot 5^b - 1 = 11 \cdot 3^c.$$

Teta u vrtiću nadgleda igru $n$ djece koja sjede raspoređena ukrug. Svako dijete ima određeni broj bombona. Igra se sastoji od niza ovakvih koraka:

Svakom djetetu koje ima neparan broj bombona teta daje po još jedan bombon te svako dijete podijeli svoje bombone na dvije jednake hrpe. Zatim, u istom trenutku, svako dijete daje polovinu svojih bombona djetetu koje sjedi neposredno desno od njega.

Dokaži da će nakon konačno mnogo koraka sva djeca imati jednak broj bombona.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su oba rješenja kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b + 1 = 0$ prirodni brojevi. Dokaži da je $a^2 + b^2$ složen prirodni broj.

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše je jedna u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)$$

realni.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x + 2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}.$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $t$.
Na primjer, ako je $t = 3.14$, onda je $\lfloor t \rfloor = 3$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $3|BC| = |AB| + |CA|$. Neka je $T$ točka na stranici $\overline{AC}$ takva da je $4|AT| = |AC|$ i neka su $K$ i $L$ točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$ redom, takve da je $KL \parallel BC$ i da je pravac $KL$ tangenta upisane kružnice trokuta $ABC$.

U kojem omjeru dužina $\overline{BT}$ dijeli dužinu $\overline{KL}$?

Odredi sve parove $(m,n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $m^2 = n^5 + n^4 + 1$, a broj $m - 7n$ dijeli $m - 4n$.

Ukrug je napisano 299 nula i jedna jedinica. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

• svakom broju istovremeno oduzeti njemu oba susjedna broja;
• odabrati dva broja između kojih se nalaze točno dva broja te ih oba uvećati ili oba umanjiti za 1.

Može li se konačnim nizom dozvoljenih poteza postići da ukrug budu napisane

(a) dvije uzastopne jedinice i 298 nula?

(b) tri uzastopne jedinice i 297 nula?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $$S(a) = S(b) = S(a + b) = n,$$ pri čemu $S(a)$ označava zbroj znamenaka broja $a$.

Branko ispisuje niz kvadratnih polinoma s realnim koeficijentima. U svakom koraku, nakon prethodno napisanog polinoma $ax^2 + bx + c$, zapisuje polinom $cx^2 + bx + a$ ili polinom $a(x + d)^2 + b(x + d) + c$ za neki realni broj $d$.

Ako započne s polinomom $x^2 - 2x - 1$, može li Branko opisanim postupkom nakon određenog broja koraka dobiti polinom:

a) $2x^2 - 1$?

b) $2x^2 - x - 1$?

Dan je trapez $ABCD$. Simetrala kraka $\overline{BC}$ siječe krak $\overline{AD}$ u točki $M$, a simetrala kraka $\overline{AD}$ siječe krak $\overline{BC}$ u točki $N$.

Neka su $O_1$ i $O_2$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ABN$ i $CDM$. Dokaži da pravac $O_1O_2$ prolazi polovištem dužine $\overline{MN}$.

Odredi sve parove prostih brojeva $(p, q)$ za koje je $p^{q-1} + q^{p-1}$ kvadrat prirodnog broja.

Dana je kvadratna ploča s $n \times n$ polja, gdje je $n$ neparan prirodni broj. Svaki od $2n(n+1)$ jediničnih bridova koji omeđuju polja te ploče je ili crvene ili plave boje. Poznato je da je najviše $n^2$ bridova crvene boje.

Dokaži da postoji polje te ploče čija su barem tri brida plave boje.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ realni brojevi takvi da vrijedi

$$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + x + 3y + 5z + 7w = 4,$$

odredi najveću moguću vrijednost izraza $x + y + z + w$.

Unutar trokuta $ABC$ nalaze se točke $S$ i $T$. Udaljenosti točke $S$ od pravaca $AB$, $BC$ i $CA$ su redom 10, 7 i 4. Udaljenosti točke $T$ od tih pravaca su redom 4, 10 i 16.

Odredi polumjer trokutu $ABC$ upisane kružnice.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $a > b$ i

$$a - b = 5b^2 - 4a^2.$$

Dokaži da je $a - b$ kvadrat prirodnog broja.

Dan je trokut $ABC$. Kružnica $k$ izvana dodiruje stranicu $\overline{BC}$ u točki $K$ te produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ preko točaka $B$ i $C$ redom u točkama $L$ i $M$. Kružnica $s$ promjerom $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{LM}$ u točkama $P$ i $Q$ tako da točka $P$ leži između $L$ i $Q$.

Dokaži da se pravci $BP$ i $CQ$ sijeku u središtu kružnice $k$.

U jednom gradu je $M$ ulica i $N$ trgova, pri čemu su $M$ i $N$ prirodni brojevi takvi da je $M > N$. Svaka ulica povezuje dva trga i ne prolazi kroz druge trgove.

Gradani žele promijeniti izgled grada. Ove godine svaka će ulica biti po prvi put obojena crveno ili plavo. Dogovoreno je da se svake godine odabere jedan trg, te svim ulicama koje vode do tog trga istovremeno promijeni boja iz plave u crvenu i obratno.

Dokaži da građani mogu odabrati boje ulica tako da se nikad u budućnosti ne može dogoditi da sve ulice budu iste boje.