Grade 10

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $a + 2b + c > 0$ i $a - 2b + c < 0$. Dokaži da vrijedi $b^2 > ac$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m, n)$ za koje postoje cijeli brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 + c^2 = 2^m \cdot 3^n.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka je $t$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $A$. Kružnica sa središtem u točki $A$ koja prolazi točkom $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$, a pravac $t$ u točkama $E$ i $F$ tako da su $C$ i $E$ s iste strane pravca $AB$. Dokaži da središte upisane kružnice trokuta $ABC$ leži na pravcu $DE$.

Odredi sve trojke pozitivnih realnih brojeva $(x, y, z)$ takve da vrijedi $$x^3 + 2y^2 + \frac{1}{4z} = 1, \quad y^3 + 2z^2 + \frac{1}{4x} = 1, \quad z^3 + 2x^2 + \frac{1}{4y} = 1.$$

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ međusobno različiti realni brojevi. Ako su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10cx - 11d = 0$, a $c$ i $d$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10ax - 11b = 0$, odredi zbroj $a + b + c + d$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$p^m - n^3 = 8.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |AB|$. Neka je $N$ nožište visine iz $A$ na stranicu $\overline{BC}$. Neka je točka $P$ na produžetku dužine $\overline{AB}$ preko vrha $B$, te neka je točka $Q$ na produžetku dužine $\overline{AC}$ preko vrha $C$ tako da je $BPQC$ tetivni četverokut. Ako vrijedi $|NP| = |NQ|$, dokaži da je $N$ središte kružnice opisane trokutu $APQ$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a}{a + b^2} + \frac{b}{b + c^2} + \frac{c}{c + a^2} \leqslant \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right).$$

Skakavac se na početku nalazi u ishodištu brojevnog pravca, na broju $0$, a zatim skače uvijek u istom smjeru. Za prirodni broj $k$, skakavac u prvom skoku dolazi na broj $1$, a svaki sljedeći skok je točno $k$ puta dulji od prethodnog. Na mjestu svakog višekratnika broja $2015$ nalazi se rupa.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ takve da skakavac može skočiti $2015$ puta, a da pritom ne uskoči u rupu.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju sustav

$$\begin{aligned} x + y^2 &= y^3, \\ y + x^2 &= x^3. \end{aligned}$$

Svaki od brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}$ može biti $-1$, $0$ ili $1$. Koja je najmanja moguća vrijednost zbroja svih umnožaka $x_i x_j$ za $1 \leqslant i < j \leqslant 2014$?

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je broj $3^m + 3^n + 1$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $p$ i $q$ dva paralelna pravca. Kružnica $k$ dodiruje pravac $p$ u točki $A$ i siječe pravac $q$ u različitim točkama $B$ i $C$. Neka je $T$ točka na pravcu $p$ i neka dužine $\overline{TB}$ i $\overline{TC}$ sijeku kraći luk $\widehat{AC}$ redom u točkama $K$ i $L$, različitima od $B$ i $C$.

Dokaži da pravac $KL$ prolazi polovištem dužine $\overline{AT}$.

Sto kvadratnih omotnica različitih veličina raspoređeno je tako da se za svake dvije različite omotnice manja omotnica nalazi unutar veće ili su omotnice jedna izvan druge. Pritom se i u manjoj i u većoj omotnici mogu nalaziti i druge omotnice. Dva rasporeda smatramo različitima ako postoje dvije omotnice koje se u jednom rasporedu nalaze jedna unutar druge, a u drugom ne.

Koliko ima različitih rasporeda u kojima se unutar najveće omotnice nalaze sve ostale?

Neka je $a$ kompleksni broj takav da vrijedi

$$a^5 + a + 1 = 0.$$

Koje vrijednosti može poprimiti izraz $a^2 (a - 1)$?

Ako za realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right) = 1,$$

dokaži da je $x + y = 0$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednakost

$$y^2 = x^3 + 3x^2 + 2x.$$

Dan je trapez $ABCD$ kojem su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti, a dijagonale su mu međusobno okomite i sijeku se u točki $O$. Polupravac $OA$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{BD}$ u točki $M$, a polupravac $OB$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{AC}$ u točki $N$.

Dokaži da točke $M$, $N$, $C$ i $D$ leže na jednoj kružnici.

Dana je tablica $6 \times 6$.

a) Ako je označeno bilo kojih $9$ polja tablice, dokaži da je moguće odabrati tri retka i tri stupca koji sadrže sva označena polja.

b) Označi $10$ polja tablice tako da koja god tri retka i tri stupca odaberemo, uvijek postoji bar jedno označeno polje koje nije u odabranim stupcima niti recima.

Neka je $x$ realan broj takav da su $x^2 - x$ i $x^4 - x$ cijeli brojevi. Dokaži da je $x$ cijeli broj.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$4x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 9 = 0,$$ gdje je s $\lfloor x \rfloor$ označen najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ($|AB| = |AC|$) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Ako je $\measuredangle DBC = 30°$, dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c \leqslant 3$ vrijedi $$\frac{a + 1}{a(a + 2)} + \frac{b + 1}{b(b + 2)} + \frac{c + 1}{c(c + 2)} \geqslant 2.$$

Može li skakač običi ploču dimenzija $4 \times 2012$ i vratiti se na polazno polje tako da pritom stane na svako polje točno jednom?

Skakač je figura koja se kreće kao u šahu: s polja označenog kružićem može se pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči).

Odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva takve da $n$ dijeli $2m - 1$ i $m$ dijeli $2n - 1$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su sve nultočke polinoma

$$P(x) = x^3 + a x^2 + b x - 8$$

realne. Dokaži da vrijedi $a^2 \geqslant 2b + 12$.

Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav

$$2^{|x|} + |x| = x^2 + y + a$$

$$x^2 + y^2 = 1$$

ima točno jedno rješenje $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$, a simetrala kuta $\measuredangle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $|BC| = |BD| + |AD|$. Odredi kutove tog trokuta.

U vreći se nalazilo $255$ kuglica označenih brojevima $1, 2, \ldots, 255$, a onda je svaki od $N$ učenika uzeo je iz vreće po jednu kuglicu. Pokazalo se da nijedan od izvučenih brojeva nije točno dvostruko veći od nekog drugog izvučenog broja. Odredi najveći mogući $N$.

Dokaži da svaki kompleksni broj $z$ za koji postoji točno jedan kompleksni broj $a$ takav da je $$z^3 + (2 - a) z^2 + (1 - 3a) z + a^2 - a = 0$$ zadovoljava jednakost $z^3 = 1$.

Odredi sva realna rješenja sustava $$\begin{aligned} (1 + 4x^2) y &= 4z^2, \\ (1 + 4y^2) z &= 4x^2, \\ (1 + 4z^2) x &= 4y^2. \end{aligned}$$

a) Dokaži da za međusobno različite prirodne brojeve $a$ i $b$ postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da su brojevi $a + n$ i $b + n$ relativno prosti.

b) Postoje li međusobno različiti prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ za koje ne postoji prirodni broj $n$ takav da su brojevi $a + n$, $b + n$, $c + n$, $d + n$ u parovima relativno prosti?

Upisana kružnica dodiruje stranice $AB$ i $AC$ trokuta $ABC$ u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Dokaži da je $BP \perp CP$.

Na početku je u svaki od kvadrata raspoređenih kao na slici upisana nula.

U svakom potezu odabire se jedan od kvadrata te se istovremeno brojevi koji se nalaze u tom kvadratu i u svim njemu susjednim kvadratima uvećavaju za jedan.

Dokaži da je nakon određenog broja poteza:

a) moguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2010$;

b) nemoguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2011$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi takvi da je $a^2 + 2b$ kvadrat cijelog broja. Dokaži da se broj $a^2 + b$ može prikazati kao zbroj kvadrata dvaju cijelih brojeva.

Dan je četverokut $ABCD$. Opisana kružnica trokuta $ABC$ siječe stranice $\overline{CD}$ i $\overline{DA}$ redom u točkama $P$ i $Q$, a opisana kružnica trokuta $CDA$ stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom u točkama $R$ i $S$. Pravci $BP$ i $BQ$ sijeku pravac $RS$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da točke $M$, $N$, $P$ i $Q$ leže na istoj kružnici.

Nađi sve parove kompleksnih brojeva $(w, z)$, $w \neq z$, koji zadovoljavaju sustav jednadžbi $$w^5 + w = z^5 + z,$$ $$w^5 + w^2 = z^5 + z^2.$$

Odredi najveću vrijednost realne konstante $\lambda$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $u$, $v$, $w$ za koje je $u\sqrt{vw} + v\sqrt{wu} + w\sqrt{uv} \geq 1$ vrijedi nejednakost $u + v + w \geq \lambda$.

U svako polje tablice $m \times n$ ($m, n \in \mathbb{N}$) upisano je slovo $A$ ili $B$. Pritom nikoja dva susjedna polja (sa zajedničkom stranicom) ne sadrže isto slovo. U jednom koraku biraju se dva susjedna polja, i oba slova na tim poljima zamijene se novim slovima po sljedećem pravilu:

• umjesto slova $A$ upisuje se slovo $B$,
• umjesto slova $B$ upisuje se slovo $C$,
• umjesto slova $C$ upisuje se slovo $A$.

Za koje $m$ i $n$ nakon konačno mnogo koraka možemo postići da u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $A$ sada piše slovo $B$, a u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $B$ sada piše slovo $A$?

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} \geq \frac{3}{2}.$$

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Dan je četverokut $ABCD$ s kutovima $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 120^\circ$. Dijagonale $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ sijeku se u točki $S$, pri čemu je $2|BS| = |SD| = 2d$. Iz polovišta $P$ dijagonale $\overline{AC}$ spuštena je okomica $\overline{PM}$ na dijagonalu $\overline{BD}$, a iz točke $S$ okomica $\overline{SN}$ na $\overline{PB}$.

Dokaži:

(a) $|MS| = |NS| = \dfrac{d}{2}$;

(b) $|AD| = |DC|$;

(c) $P(ABCD) = \dfrac{9d^2}{2}$.

Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Dana je polukružnica nad promjerom $\overline{AB}$ i na njoj točke $C$ i $D$ tako da vrijedi:

a) točka $C$ pripada luku $\widehat{AD}$;

b) $\measuredangle CSD$ je pravi, pri čemu je $S$ središte dužine $\overline{AB}$.

Neka je $E$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$, a $F$ sjecište $AD$ i $BC$. Dokažite da je $|EF| = |AB|$.

Nadite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika $5n + 6$ i $8n + 7$ za neko $n \in \mathbf{N}$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Odredi sve cijele brojeve $m$, $n$ za koje vrijedi $$m^3 + n^3 = (m + n)^2.$$