Grade 10

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Odredite sve trojke prirodnih brojeva $x, y, z$ za koje vrijedi $$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} = 1.$$

Dane su točke $A$ i $B$ u ravnini. Dokažite da je geometrijsko mjesto točaka $M$ takvih da je $|AM|^2 - |BM|^2 = k$ (gdje je $k$ dani broj), pravac okomit na pravac $AB$.

Oko kružnice su na bilo koji način opisani trokut i kvadrat. Dokažite da je duljina dijela opsega kvadrata unutar trokuta veća od dijela izvan njega.

Kolike su duljine kateta pravokutnog trokuta kojemu je $c$ duljina hipotenuze, a $\rho$ polumjer upisane kružnice.

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

U ravnini su dane $1992$ točke od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji $498$ četverokuta kojima su te točke vrhovi takvi da se nikoja dva na sijeku.