Croatian National Competitions 2014

Odredi najmanji prirodni broj $a$ takav da je vrijednost izraza

$$\frac{n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + a}{n^2 - 1}$$

za $n = 2014$ cijeli broj djeljiv sa $3$.

Na igralištu se nalazi $2014$ sportaša koji na dresovima imaju brojeve od $1$ do $2014$ (svaki broj je na točno jednom dresu). Na početku su svi u stojećem položaju. U određenim vremenskim intervalima trener uzvikuje redom sve prirodne brojeve od $1$ do $2014$. Sportaši kojima je na dresu višekratnik uzviknutoga broja odmah mijenjaju svoj položaj iz stojećeg položaja u čučanj ili obratno.

Koliko je sportaša u čučnju nakon što trener uzvikne broj $2014$?

Dužina $\overline{AB}$ je promjer kružnice sa središtem $O$. Na kružnici je dana točka $C$ takva da je $OC$ okomito na $AB$. Na kraćem luku $\widehat{BC}$ odabrana je točka $P$. Pravci $CP$ i $AB$ sijeku se u točki $Q$, a točka $R$ je sjecište pravca $AP$ i okomice kroz $Q$ na pravac $AB$.

Dokaži da je $|BQ| = |QR|$.

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Andrija i Boris imaju $2014$ karata označenih brojevima od $1$ do $2014$. Andrija ima sve karte s parnim, a Boris sve karte s neparnim brojevima. Andrija je poredao svoje karte ukrug redom, od $2$ do $2014$, u smjeru kazaljke na satu tako da se brojevi na kartama ne vide. Boris zna da su karte poredane tim redom i u tom smjeru, ali ne zna gdje se nalazi karta s brojem $2$. Nakon toga, Boris na svaku Andrijinu stavi po jednu od svojih karata i tako nastane $1007$ parova karata. Za svaki se par usporedi brojeve na kartama i dodijeli jedan bod onom igraču na čijoj je karti veći broj.

Odredi najveći mogući $N$ tako da Boris može biti siguran da će ostvariti barem $N$ bodova.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju sustav

$$\begin{aligned} x + y^2 &= y^3, \\ y + x^2 &= x^3. \end{aligned}$$

Svaki od brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}$ može biti $-1$, $0$ ili $1$. Koja je najmanja moguća vrijednost zbroja svih umnožaka $x_i x_j$ za $1 \leqslant i < j \leqslant 2014$?

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je broj $3^m + 3^n + 1$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $p$ i $q$ dva paralelna pravca. Kružnica $k$ dodiruje pravac $p$ u točki $A$ i siječe pravac $q$ u različitim točkama $B$ i $C$. Neka je $T$ točka na pravcu $p$ i neka dužine $\overline{TB}$ i $\overline{TC}$ sijeku kraći luk $\widehat{AC}$ redom u točkama $K$ i $L$, različitima od $B$ i $C$.

Dokaži da pravac $KL$ prolazi polovištem dužine $\overline{AT}$.

Sto kvadratnih omotnica različitih veličina raspoređeno je tako da se za svake dvije različite omotnice manja omotnica nalazi unutar veće ili su omotnice jedna izvan druge. Pritom se i u manjoj i u većoj omotnici mogu nalaziti i druge omotnice. Dva rasporeda smatramo različitima ako postoje dvije omotnice koje se u jednom rasporedu nalaze jedna unutar druge, a u drugom ne.

Koliko ima različitih rasporeda u kojima se unutar najveće omotnice nalaze sve ostale?

Neka je $ABC$ jednakostranični trokut sa stranicama duljine $1$. Točka $X$ na polupravcu $AB$ i točka $Y$ na polupravcu $AC$ odabrane su tako da su $|AX|$ i $|AY|$ prirodni brojevi. Može li polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ biti $\sqrt{2014}$?

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $P$ takva da je

$$\measuredangle APB = \measuredangle CBA + \measuredangle ACB, \quad \measuredangle BPC = \measuredangle ACB + \measuredangle BAC.$$

Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AC| \cdot |BP|}{|BC|} = \frac{|BC| \cdot |AP|}{|AB|}.$$

Postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ za koje su $m^2 + n$ i $n^2 + m$ kvadrati prirodnih brojeva?

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} \geqslant \frac{3a + 2b - c}{4}.$$

Na kružnici duljine $6N$ označeno je $3N$ točaka koje dijele tu kružnicu na ukupno $3N$ lukova: $N$ lukova duljine $1$, $N$ lukova duljine $2$ i $N$ lukova duljine $3$.

Dokaži da među označenim točkama postoje dvije koje su krajnje točke nekog promjera te kružnice.

Za prirodni broj $n$ označimo sa $s(n)$ zbroj njegovih pozitivnih djelitelja, a sa $d(n)$ broj njegovih pozitivnih djelitelja. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da vrijedi

$$s(n) = n + d(n) + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) f(y) = f(x + y) + xy.$$

Dano je $2014$ žetona koji su s jedne strane crne, a s druge bijele boje i ploča dimenzija $2014 \times 1$. Na početku se na svakom polju ploče nalazi po jedan žeton, okrenut na crnu ili na bijelu stranu. U svakom potezu dozvoljeno je ukloniti jedan žeton okrenut na crnu stranu i istovremeno preokrenuti žetone na susjednim poljima (ako nisu već uklonjeni).

Odredi sve početne rasporede žetona za koje je nizom takvih poteza moguće ukloniti sve žetone.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta opsega $1$. Dokaži da vrijedi

$$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut takav da vrijedi

$$\measuredangle BAD = 90^\circ, \quad \measuredangle BAC = 2\measuredangle BDC \quad \text{i} \quad \measuredangle DBA + \measuredangle DCB = 180^\circ.$$

Odredi mjeru kuta $\measuredangle DBA$.