Grade 10

Odredi najveću moguću površinu pravokutnika upisanog u pravokutni trokut s katetama duljina 5 i 12 tako da se dva vrha pravokutnika nalaze na hipotenuzi, a po jedan vrh na svakoj kateti tog trokuta.

Odredi broj različitih vrijednosti koje poprima izraz $$\frac{n^2 - 2}{n^2 - n + 2},$$ za $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 2026\}$.

Neka je $m$ prirodan broj i neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $$m^2 < a < m^2 + m \quad \text{i} \quad m^2 < b < m^2 + m.$$ Odredi sve prirodne djelitelje $d$ umnoška $ab$ za koje vrijedi $m^2 < d < m^2 + m$.

Blok je figura koja se sastoji od šest jediničnih kvadrata kao što je prikazano na slici. Odredi najveći mogući broj blokova koje je moguće postaviti na ploču dimenzija $6 \times 11$ tako da svaki prekriva točno šest polja. Blokovi se mogu rotirati i ne smiju se preklapati.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Pravac $HM$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $A_1$ i $B_1$. Neku su $A_2$ i $B_2$ redom nožišta okomica iz $A_1$ i $B_1$ na pravac $CH$. Dokaži da se pravci $AB_2$ i $BA_2$ sijeku na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$\begin{aligned} xy + 1 &= 2z \\ yz + 1 &= 2x \\ zx + 1 &= 2y. \end{aligned}$$

U stožac osnovke polumjera 1 i visine duljine $2\sqrt{2}$ upisan je kvadar takav da jedna strana kvadra pripada osnovki stošca, a vrhovi suprotne strane pripadaju plaštu stošca.

Ako je strana kvadra koja pripada osnovki stošca kvadrat, koliko je najveće oplošje koje takav kvadar može imati?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Neka je $M$ točka unutar trokuta $ABC$ na simetrali kuta $\measuredangle BAC$. Pravci $AM$, $BM$ i $CM$ ponovo sijeku opisanu kružnicu trokuta $ABC$ redom u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Neka je $P$ sjecište dužina $\overline{A_1C_1}$ i $\overline{AB}$ te $Q$ sjecište dužina $\overline{A_1B_1}$ i $\overline{AC}$.

Dokaži da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.

U svako polje pravokutne ploče s 3 stupca i 14 redaka upisan je simbol $X$ ili $O$. Za ploču kažemo da je balansirana ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• svaki $3 \times 3$ kvadrat sadržava najviše 5 simbola $X$ i najviše 5 simbola $O$
• u svakom $3 \times 3$ kvadrati nijedna dijagonala ni redak ni stupac ne sadržavaju tri ista simbola.

Za balansiranu ploču $P$, centar od $P$ je ploča s 3 stupca i 12 redaka dobivena uklanjanjem prvoga i posljednjega retka iz $P$.

Među svim balansiranim pločama koliko postoji različitih centara?

Baka Jagoda prodaje trešnje te je uočila da postoji linearna ovisnost između cijene jednog kilograma trešanja i količine prodanih trešanja u danu: svakim povećanjem cijene za 1 € po kilogramu bi u danu prodala 3 kilograma trešanja manje. Najveći iznos od prodaje trešanja bi ostvarila kada bi ih prodavala po cijeni od 3.6 € po kilogramu. Jednog dana unuka Višnja zamijenila je baku na tržnici, sama odredila cijenu kilograma trešanja i prodala trešnje za 18.6 €. Po kojoj je cijeni Višnja mogla prodavati trešnje?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje broj $$2n^4 + 19n^2 + 9$$ ima točno 6 pozitivnih djelitelja.

Neka su stepenice dio kvadratne ploče dimenzija $111 \times 111$ koji se sastoji od prvih $k$ polja u $k$-tom retku za $k = 1, 2, \ldots, 111$. Mogu li se stepenice podijeliti na 111 kvadrata?

(Kvadrati se trebaju sastojati od jediničnih polja i ne moraju biti sukladni.)

Zadan je trapez $ABCD$ kojemu su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti. Simetrala dužine $\overline{AD}$ siječe pravac $BC$ u točki $P$, a simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe pravac $AD$ u točki $Q$. Dokaži da je $\measuredangle DPA = \measuredangle BQC$.

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?