Croatian National Competitions 2015

Oko okruglog stola nalazi se deset stolica označenih redom brojevima od $1$ do $10$ (pri čemu su stolice $1$ i $10$ susjedne) i na svakoj sjedi po jedan vitez. Svaki vitez na početku ima paran broj zlatnika. Istovremeno svaki vitez pokloni polovinu svojih zlatnika svom lijevom susjedu, a pola svojih zlatnika svom desnom susjedu. Nakon toga vitez na stolici $1$ ima $22$ zlatnika, a svaki idući za dva više, sve do viteza na stolici $10$ koji ima $40$ zlatnika. Koliko je zlatnika na početku imao vitez koji na kraju ima $36$ zlatnika?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n$ takav da $6^n - 1$ dijeli $7^n - 1$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^4 + 3ab^3}{a^3 + 2b^3} + \frac{b^4 + 3bc^3}{b^3 + 2c^3} + \frac{c^4 + 3ca^3}{c^3 + 2a^3} \leqslant 4.$$

Na ploči se nalazi prvih $n$ prirodnih brojeva ($n \geqslant 3$). Ante ponavlja sljedeći postupak: najprije po volji bira dva broja na ploči, a zatim ih povećava za isti proizvoljni iznos.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje Ante, ponavljanjem tog postupka, može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $C$ i $E$, a kružnicu $k_2$ u točkama $D$ i $F$ tako da se točka $D$ nalazi između $C$ i $E$, a točka $E$ između $D$ i $F$. Pravci $CA$ i $BF$ sijeku se u točki $G$, a pravci $DA$ i $BE$ u točki $H$. Dokaži da je $CF \parallel HG$.

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ međusobno različiti realni brojevi. Ako su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10cx - 11d = 0$, a $c$ i $d$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10ax - 11b = 0$, odredi zbroj $a + b + c + d$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$p^m - n^3 = 8.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |AB|$. Neka je $N$ nožište visine iz $A$ na stranicu $\overline{BC}$. Neka je točka $P$ na produžetku dužine $\overline{AB}$ preko vrha $B$, te neka je točka $Q$ na produžetku dužine $\overline{AC}$ preko vrha $C$ tako da je $BPQC$ tetivni četverokut. Ako vrijedi $|NP| = |NQ|$, dokaži da je $N$ središte kružnice opisane trokutu $APQ$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a}{a + b^2} + \frac{b}{b + c^2} + \frac{c}{c + a^2} \leqslant \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right).$$

Skakavac se na početku nalazi u ishodištu brojevnog pravca, na broju $0$, a zatim skače uvijek u istom smjeru. Za prirodni broj $k$, skakavac u prvom skoku dolazi na broj $1$, a svaki sljedeći skok je točno $k$ puta dulji od prethodnog. Na mjestu svakog višekratnika broja $2015$ nalazi se rupa.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ takve da skakavac može skočiti $2015$ puta, a da pritom ne uskoči u rupu.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|BC| + |AC| = 2|AB|$ i $\measuredangle BAC - \measuredangle CBA = 90^\circ$.

Odredi kosinus kuta $\measuredangle ACB$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$2^m p^2 + 1 = n^5.$$

U nekoj državi između svaka dva grada postoji ili izravna autobusna ili izravna željeznička veza (sve veze su dvosmjerne i ne prolaze ni kroz jedan drugi grad).

Dokaži da je gradove u toj državi moguće rasporediti u dva disjunktna skupa tako da je sve gradove u jednom skupu moguće obići putujući samo željeznicom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput, a sve gradove u drugom skupu putujući samo autobusom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput.

Na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $D$ i $E$ tako da je točka $D$ između $C$ i $E$. Neka je $F$ sjecište kružnice opisane trokutu $ABD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $BC$ tako da se točke $E$ i $F$ nalaze s različitih strana pravca $AB$. Neka je $G$ sjecište kružnice opisane trokutu $BCD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $AB$ tako da se točke $E$ i $G$ nalaze s različitih strana pravca $BC$.

Dokaži da točke $D$, $E$, $F$ i $G$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c \geqslant 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a - bc}{a + bc} + \frac{b - ca}{b + ca} + \frac{c - ab}{c + ab} \leqslant \frac{3}{2}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x y) (x + f (y)) = x ^ {2} f (y) + y ^ {2} f (x).$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka su $A'$, $B'$, $C'$ redom nožišta okomica povučenih iz težišta trokuta $ABC$ na pravce $BC$, $CA$, $AB$. Odredi omjer površina trokuta $A'B'C'$ i $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da

$$d n + 1 \mid d ^ {2} + n ^ {2}.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve pozitivne realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\frac {2 ^ {2}}{x + 1} + \frac {3 ^ {2}}{x + 2} + \dots + \frac {(n + 1) ^ {2}}{x + n} + n x ^ {2} = n x + \frac {n (n + 3)}{2}.$$

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljaju se tromino-pločice oblika slova L (vidi sliku) tako da svaka tromino-pločica prekriva točno tri polja ploče, a međusobno se ne prekrivaju.

Koliko je najmanje tromino-pločica potrebno postaviti na ploču ako želimo da se nakon toga više ne može postaviti nijedna dodatna tromino-pločica?