Croatian Competitions 2016

Promatramo sve pravokutne ploče čija je polja moguće obojati tako da u svakom retku bude točno $14$ plavih polja, u svakom stupcu točno $10$ crvenih polja i da na cijeloj ploči budu točno $3$ polja koja nisu ni crvena ni plava.

Odredi dimenzije takve ploče koja ima najmanji ukupan broj polja.

Neka su $a_0, a_1, \ldots, a_n$ realni brojevi takvi da je $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = (x + 1)^3(x + 2)^3 \cdots (x + 672)^3.$$ Odredi zbroj $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{2016}.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geq 3$ postoji $n$ različitih prirodnih brojeva čiji je zbroj reciprocnih vrijednosti jednak $1$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$, točka $D$ leži na stranici $\overline{BC}$. Okomica iz točke $B$ na pravac $AD$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABD$ u točkama $B$ i $E$. Ako su pravci $DE$ i $AC$ međusobno okomiti, dokaži da je $AD$ simetrala kuta $\measuredangle BAC$.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$(7a - b)^2 = 2(a - 1)b^2.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Na koliko načina možemo tablicu $n \times n$ popuniti brojevima $1, 2, -1, -2$ tako da umnožak brojeva u svakom retku bude jednak $-2$ i da umnožak brojeva u svakom stupcu bude također jednak $-2$?