Croatian Competitions 2018

Neka je $n$ prirodni broj. Niz od $2n$ realnih brojeva je dobar ako za svaki prirodni broj $1 \leqslant m \leqslant 2n$ vrijedi da je zbroj prvih $m$ ili zbroj zadnjih $m$ članova niza cijeli broj. Odredi najmanji mogući broj cijelih brojeva u dobrom nizu.

Prirodni broj zovemo babilonskim ako je veći od $9$ i ako je njegov zapis u sustavu s bazom $60$ jednak njegovom dekadskom zapisu bez vodeće znamenke. Npr. broj $123$ je babilonski jer je $123 = (23)_{60}$. Koliko ima babilonskih brojeva manjih od $10\,000$?

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut takav da je $|BC| > |AC|$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $P$, a pravac $AC$ u točki $Q$. Točka $R$ je nožište okomice iz točke $P$ na stranicu $\overline{AC}$, a točka $S$ je nožište okomice iz točke $Q$ na pravac $BC$.

Dokaži da pravac $RS$ raspolavlja dužinu $\overline{AB}$.

Ploča $P$ je dobivena uklanjanjem tri polja u kutovima ploče $7 \times 7$. U svako od $46$ polja ploče $P$ upisan je neki prirodni broj. Razlika brojeva u bilo koja dva polja koja imaju zajedničku stranicu je najviše $4$. Dokaži da su u neka dva polja upisani isti brojevi.

Neka je $d$ prirodni broj te $(a_n)$ aritmetički niz prirodnih brojeva s razlikom $d$. Ako je $d \leqslant 2018$, dokaži da najviše $11$ uzastopnih članova niza $(a_n)$ mogu biti prosti brojevi.