Local Competitions 2002

Duljina srednjice trapeza je $4$ a kutovi uz jednu osnovicu su $40°$ i $50°$. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka $1$.

Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ i bilo koji nenegativan pozitivan broj $p$ vrijedi nejednakost $$a^{p+2} + b^{p+2} + c^{p+2} \geq a^p b c + b^p c a + c^p a b.$$

Nadite sve trojke $(x, y, z)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 576.$$ Naputak: Izraz s lijeve strane jednadžbe rastavite na faktore.

"Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$, $100$, $150$, ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$.

Nadite sva rješenja jednadžbe $$(x^2 + 3x - 4)^3 + (2x^2 - 5x + 3)^3 = (3x^2 - 2x - 1)^3.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi veći od $1$. Dokažite sljedeću nejednakost $$\log_a \left(\frac{b^2}{ac} - b + ac\right) \log_b \left(\frac{c^2}{ab} - c + ab\right) \log_c \left(\frac{a^2}{bc} - a + bc\right) \geq 1.$$

Ako za trokute s duljinama stranica $a$, $b$, $c$ i $a'$, $b'$, $c'$ te nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$ vrijede jednakosti $\alpha + \alpha' = \pi$ i $\beta = \beta'$, dokažite da vrijedi i jednakost $aa' = bb' + cc'$.

Odredite sve pozitivne cijele brojeve $n$ za koje jednadžba $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$ ima točno pet rješenja $(x,y)$ u skupu pozitivnih cijelih brojeva.

U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\measuredangle ADC = \beta$, odnosno $\measuredangle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\measuredangle ACB$ pravi.

Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF \parallel BC_1$. Nadite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.

Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja.) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \dfrac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.

Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2 x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$, $A'(-1,-1,-1)$, $B(-1,1,1)$, $B'(1,-1,-1)$, $C(-1,-1,1)$, $C'(1,1,-1)$, $D(1,-1,1)$, $D'(-1,1,-1)$. Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d = |OT|$. Označimo $s$ $\alpha = \measuredangle ATA'$, $\beta = \measuredangle BTB'$, $\gamma = \measuredangle CTC'$ i $\delta = \measuredangle DTD'$. Dokažite da je $$\mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{tg}^2 \beta + \mathrm{tg}^2 \gamma + \mathrm{tg}^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2 - 3)^2}.$$

Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.

Neka je $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.