Croatian Competitions 2001

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $|MP| - |MS|$.

Dokažite da za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi nejednakost $$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}.$$

Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $$\square\llap{\raisebox{-1.5ex}{$\square$}}\kern-0.15em\square$$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

Neka je $z$ kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost $z^8 = \bar{z}$. Koje vrijednosti može poprimiti broj $z^{2001}$?

Kružnica sa središtem $O$ dira stranicu $\overline{BC}$ i produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ redom u točkama $K$, $P$ i $Q$. Dužine $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ sijeku spojnicu $\overline{PQ}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokažite da je $$\frac{|QN|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|BC|} = \frac{|MP|}{|CA|}.$$

Neka je $N$ prirodan broj. Dano je $N$ trojki cijelih brojeva $r_j$, $s_j$, $t_j$, za $1 \leq j \leq N$, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $ar_j + bs_j + ct_j$ neparan, za barem $\dfrac{4N}{7}$ različitih indeksa $j$.

Neka je $P$ poligon u koordinatnom sustavu u ravnini čija je površina veća od $1$. Dokažite da postoje dvije različite točke $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ poligona $P$ takve da su $x_1 - x_2$ i $y_1 - y_2$ cijeli brojevi.

U ravnini su dane dvije različite točke $O$ i $P$. Odaberimo paralelogram $ABCD$ kojem je točka $O$ središte. Označimo s $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$. Točka $Q$ je presjek dužina $\overline{MC}$ i $\overline{ND}$. Dokažite da točke $O$, $Q$ i $P$ leže na istom pravcu i da točka $Q$ ne ovisi o izboru paralelograma $ABCD$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| \neq |BC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, $\alpha = \measuredangle BAC$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\varphi = \measuredangle ACM$, $\psi = \measuredangle BCM$. Dokažite da je $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \varphi \sin \psi}{\sin(\varphi - \psi)}.$$

Na ploči su napisani brojevi $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{2001}$. Učenik odabira dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.

Skup $S$ sadrži $100$ prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od $200$. Pokažite da postoji neprazan podskup $T$ od $S$ takav da je produkt brojeva iz $T$ potpuni kvadrat.

Na slici su unutar kružnice sa središtem $O$ i polumjerom $1$ nacrtani lukovi još šest kružnica istog polumjera. U području između dvije susjedne "latice" upisan je niz kružnica s polumjerima $r_1, r_2, r_3, \ldots$, koje se s početnom kružnicom i susjednim kružnicama u nizu dodiruju redom u točkama $D_1, D_2, D_3, \ldots$. Za svaki $n$ izračunajte polumjer $r_n$ i duljinu $d_n = |OD_n|$.

Papir oblika kvadrata s vrhovima $F$, $B$, $H$ i $D$ ima stranicu duljine $a$. Na njegovim stranicama $\overline{FB}$ i $\overline{BH}$, označene su točke $G$ i $A$, odnosno $E$ i $C$, takve da je $|FG| = |GA| = |AB|$ i $|BE| = |EC| = |CH|$. Papir je presavinut po dužinama $\overline{DG}$, $\overline{DA}$, $\overline{DC}$ i $\overline{AC}$ tako da se točka $G$ poklopi s $B$, a točke $F$ i $H$ s točkom $E$. Odredite volumen tako nastale trostrane piramide $ABCD$.

Dan je broj $n = p_1p_2p_3p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$

Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\dfrac{n}{2}\left(1 + \sqrt{4n - 3}\right)$.