Croatian Competitions 2007

Nadite realna rješenja sustava jednadžbi: $$x + y + z = 2$$ $$(x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = 1$$ $$x^{2}(y + z) + y^{2}(z + x) + z^{2}(x + y) = -6$$

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.

b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$.

Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Dana je polukružnica nad promjerom $\overline{AB}$ i na njoj točke $C$ i $D$ tako da vrijedi:

a) točka $C$ pripada luku $\widehat{AD}$;

b) $\measuredangle CSD$ je pravi, pri čemu je $S$ središte dužine $\overline{AB}$.

Neka je $E$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$, a $F$ sjecište $AD$ i $BC$. Dokažite da je $|EF| = |AB|$.

Nadite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika $5n + 6$ i $8n + 7$ za neko $n \in \mathbf{N}$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

U trokutu $ABC$ s kutom $\measuredangle BAC = 120^{\circ}$ simetrale kutova $\measuredangle BAC$, $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle BCA$ sijeku nasuprotne stranice u točkama $D$, $E$ i $F$ redom. Dokažite da kružnica s promjerom $\overline{EF}$ prolazi kroz $D$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \measuredangle BAC$.

Deset brojeva $1$, $4$, $7$, ..., $28$ (razlika dvaju uzastopnih je $3$) raspoređeno je u krug. Sa $N$ označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja $N$ koju možemo postići?

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$\begin{aligned} a_0 &= 3 \\ a_n &= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1}, \quad n \geq 1. \end{aligned}$$

a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.

b) Odredite $a_{2007}$.

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nadite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|} + \frac{1}{|OB_1|} + \frac{1}{|OC_1|} \geq 6.$$