Local Competitions 1995

U pravokutni trokut $ABC$ s duljinom hipotenuze $c$ i pripadnom visinom $h$ upisan je kvadrat $DEFG$ sa dva susjedna vrha $D, E$ na hipotenuzi $\overline{AB}$ i po jednim vrhom $F$ i $G$ na katetama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Izračunajte duljinu $x$ stranice tog kvadrata i dokažite jednakost $|AD| \cdot |BE| = x^2$.

Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2(a_1 + a_2)} + \frac{a_2}{a_3(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_n}{a_1(a_n + a_1)} = \frac{a_2}{a_1(a_1 + a_2)} + \frac{a_3}{a_2(a_2 + a_3)} + \ldots + \frac{a_1}{a_n(a_n + a_1)}.$$

Nadite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} - 2\sqrt{2x + 3 - 4\sqrt{2x - 1}} + 3\sqrt{2x + 8 - 6\sqrt{2x - 1}} = 4.$$

Dokažite da postoji broj oblika $\overline{.\,.\,.\,.\,1995}$ djeljiv sa $1999$.

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje cijele brojeve $x$ izraz $x^2 + 1$ dijeli $x^3 - 8x^2 + 2x$?

Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a, h_b, h_c$. Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D, E, F$, a udaljenosti točaka $D, E, F$ od pravaca $AB, BC, CA$ redom sa $d_a, d_b, d_c$. Dokažite nejednakost $$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geq \frac{3}{2}.$$

Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$. Udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+2})$, $(i = 1, 2, \ldots, 9)$ nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+3})$, $(i = 1, 2, \ldots, 8)$ nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d(A_2, A_7)$?

Nadite najveći prirodan broj $n$ koji je djeljiv sa svim prirodnim brojevima $k$ takvima da je $k \leq \sqrt{n}$.

(a) Služeći se poznatim formulama $a = 2R \sin \alpha$ i $s - a = r \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\ctg \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe $$4R^2x^3 - 4R(R + r)x^2 + (s^2 + r^2 - 4R^2)x + (2R + r)^2 - s^2 = 0.$$

(b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R, r$ i $s$.

(c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC, CA, AB$ jednaka $R + r$, ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

(d) Ako se konveksan tetivni $n$-terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)

Na nekom turističkom putovanju bilo je ukupno $17$ turista. Utvrđeno je da su bilo koja dvojica od njih bili međusobno "na ti" ili "na vi" ili uopće nisu razgovarali. Dokažite da među tih $17$ ljudi postoje bar trojica koji su međusobno bili "na ti" ili bar trojica koji su međusobno bili "na vi" ili bar trojica koji međusobno nisu razgovarali.

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40°, \beta = 60°, \gamma = 80°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ nožišta visina tog trokuta. Na isti način se polazeči od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$, zatim redom trokuti $A_3B_3C_3, \ldots$. Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$.

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2, \quad a \neq c, \quad b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

Sve točke ravnine su na bilo koji način podijeljene na dva disjunktna skupa. Dokažite da postoji trokut čiji vrhovi pripadaju istom skupu, najmanja stranica mu ima duljinu $1$ i kutovi mu se odnose kao $1 : 2 : 3$.

Zadan je niz $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$, $x_{n+3} = x_{n+2} + x_{n+1} + x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.