Local Competitions 2015

Marko ima $2n$ kartica ($n \in \mathbb{N}$), po dvije kartice sa svakim od brojeva $1,2,\ldots,n$. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki $k$ iz skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ između dviju kartica s brojem $k$ nalazi točno $k$ drugih kartica.

Dokaži da je broj $n^2 + n$ djeljiv s $4$.

Neka je $a = \sqrt[2015]{2015}$ i neka je $(a_n)$ niz takav da je $a_1 = a$ i $a_{n+1} = a^{a_n}$ za $n \geqslant 1$.

Postoji li prirodni broj $n$ takav da je $a_n \geqslant 2015$?

Jedna stranica kvadrata leži na pravcu $y = 2x - 17$, a preostala dva vrha leže na paraboli $y = x^2$. Odredi površinu tog kvadrata.

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $a_0, a_1, \ldots, a_{2n} \in \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ realni brojevi takvi da je $$\tg a_k = 2^{k-n} \quad \text{za} \quad k = 0, 1, \ldots, 2n.$$

Izračunaj zbroj $a_0 + a_1 + \cdots + a_{2n}$.

Za prirodan broj kažemo da je zvrkast ako u dekadskom zapisu ima $100$ znamenaka i ako uklanjanjem bilo koje njegove znamenke nastaje $99$-znamenkasti broj djeljiv sa $7$.

Koliko ima zvrkastih prirodnih brojeva?

Ukrug je poredano konačno mnogo realnih brojeva. Svaki broj je obojan u crveno, bijelo ili plavo. Svaki crveni broj dvaput je manji od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva, svaki bijeli broj jednak je zbroju dvaju njemu susjednih brojeva, a svaki plavi broj je dvaput veći od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva. Neka je $b$ zbroj svih bijelih brojeva, a $p$ zbroj svih plavih brojeva, pri čemu su oba zbroja različita od $0$.

Odredi omjer $\frac{b}{p}$.