Local Competitions 2026

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 - 19x + r = 0$ kubovi cijelih brojeva.

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$.

(a) Može li tablica imati točno $200$ polja?

(b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AD| = 5$, $|\measuredangle CBA| = 90^\circ$, te su kutovi $\measuredangle ADC$ i $\measuredangle DCB$ šiljasti i međusobno sukladni. Odredi duljinu dužine $\overline{CD}$.

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x + y$ i $x^2 + y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Odredi sve parove $(x, y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$\left\{ \begin{array}{l l} y^{x^2 - 7x + 12} & = 1 \\ x + y & = 6. \end{array} \right.$$

Ako je $\sin x + \cos x = 1.4$, odredi $\mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x$.

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$

Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite boje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako vrijedi $|\measuredangle ACB| = 2|\measuredangle BAC|$ i $|AI| = |BC|$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$\frac{(2 + \sqrt{2})^n - (2 - \sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}$$ također prirodan.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?

Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da je $a_1 = 1$ i $a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n$ za sve $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Vita i Lovro naizmjence bacaju igraću kockicu (na čijim su stranama brojevi od $1$ do $6$). Svaki od njih zbraja brojeve koje dobije bacanjem kockice. Vita baca prva. Igra završava Vitinom pobjedom ako njezin zbroj dosegne $5$ (tj. bude $5$ ili više), a Lovrinom pobjedom ako njegov zbroj dosegne $4$. Pokaži da je vjerojatnost da Vita pobijedi veća od $0.5$.

Odredi znamenke $a, b, c \neq 0$ takve da brojevi $a$, $\overline{ba}$ i $\overline{cba}$ budu uzastopni članovi nekog geometrijskog niza.

Na koliko je načina moguće svako od šest polja u nizu obojati jednom od tri boje (crvenom, bijelom ili plavom) tako da ne postoje tri uzastopna polja obojena trima različitim bojama?

Odredi najveću moguću vrijednost realnog dijela kompleksnog broja $$(10 + 14i)z + \frac{8 - 8i}{z}$$ ako je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 2$.