Croatian Competitions 2005

Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika $\overline{13xy45z}$, gdje su $x$, $y$ i $z$ nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa $792$.

Spojnice središta trokuta upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n},$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} < 1$.

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \dfrac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi, $a \neq 0$. Ako je $x_1$ jedno rješenje jednadžbe $$ax^2 + bx + c = 0$$ i $x_2$ jedno rješenje jednadžbe $$-ax^2 + bx + c = 0,$$ dokažite da je tada jedno rješenje $x_3$ jednadžbe $$\frac{a}{2}x^2 + bx + c = 0,$$ između $x_1$ i $x_2$, tj. $x_1 \leq x_3 \leq x_2$ ili $x_2 \leq x_3 \leq x_1$.

Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1$, $O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_a bc)^r + (\log_b ca)^r + (\log_c ab)^r \geq 3 \cdot 2^r.$$

Dokažite da u svakom skupu od $11$ prirodnih brojeva postoji njih $6$, čiji je zbroj djeljiv sa $6$.

Nađite sva rješenja $k$, $l$, $m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k! l! = k! + l! + m!.$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

Upisana kružnica trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $M$, $N$ i $R$. Neka je $S$ točka na manjem od dva luka $\widehat{MN}$ i $t$ tangenta na taj luk s diralištem $S$. Tangenta $t$ siječe $\overline{NC}$ i $\overline{MC}$ redom u točkama $P$ i $Q$. Dokažite da se pravci $AP$, $BQ$, $SR$ i $MN$ sijeku u jednoj točki.

Odredite skup svih točaka triedra takvih da je zbroj njihovih udaljenosti od strana triedra jednak zadanom pozitivnom broju $a$.

Pravilni poligon s $2005$ stranica ima vrhove obojane crvenom, bijelom i plavom bojom. "Dozvoljenim bojanjem" zovemo bojanje u kojem dva susjedna vrha, koja su obojana različitim bojama, obojimo trećom bojom.

a) Dokažite da postoji konačan niz "dozvoljenih bojanja" nakon kojeg su svi vrhovi poligona iste boje.

b) Je li ta boja jednoznačno određena početnim rasporedom boja vrhova?

Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $$a_n = a_1 \cdots a_{n-1} + 1, \quad \text{za } n \geq 2.$$ Odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $$\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_n} < M \quad \text{za svaki } m \in \mathbb{N}.$$

Neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su $1$. Uz pretpostavku da su sve nultočke od $P$ realni brojevi, dokažite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama $2$ i $5$, ima $2005$ znamenaka i djeljiv je s $2^{2005}$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut i neka su $P$ i $Q$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$. Dokažite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.