Croatian Competitions 2022

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje se svi elementi skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ mogu raspodijeliti na $k$ međusobno disjunktnih skupova koji imaju jednak broj elemenata, tako da svaki od tih skupova sadrži aritmetičku sredinu svojih elemenata ako je

a) $k = 2$,

b) $k = 3$.

Odredi sve polinome $P$ trećeg stupnja koji imaju sljedeća tri svojstva:

(i) $P(x)$ pri dijeljenju s $x^2 - 1$ daje ostatak $2x + 1$,

(ii) zbroj nultočaka polinoma $P$ iznosi $-2$,

(iii) graf polinoma $P$ prolazi točkom $(0, 3)$.

Početni član niza $(a_n)$ je $a_0 = 2022$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$, broj $a_n$ jednak je zbroju broja $a_{n-1}$ i najvećeg djelitelja tog broja manjeg od njega samog. Odredi $a_{2022}$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $2^n + 5 \cdot 3^m$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Dan je pravilni $2022$-kut $A_1A_2 \ldots A_{2022}$. Koliko najviše vrhova pravilnog $2022$-kuta možemo odabrati tako da nikoje četiri odabrane točke ne čine vrhove pravokutnika?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s težištem $T$. Neka je $\overline{CN}$ njegova visina, $\overline{CP}$ težišnica i $K$ polovište te težišnice. Simetrala dužine $\overline{PC}$ siječe pravac $AB$ u točki $L$. Kružnica opisana trokutu $LNT$ siječe pravac $PC$ u točkama $T$ i $M$. Dokaži da pravac $AK$ raspolavlja dužinu $\overline{BM}$.

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Tea je umijesila tijesto od tri sastojka: brašna, vode i jaja. Masa brašna u tijestu prema masi vode odnosi se kao $7:2$, dok se masa vode prema masi jaja odnosi kao $5:2$. Ukupna masa tijesta je $1470$ grama. Odredi mase svakog od sastojaka.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a + b + c = 0$ i $abc = 4$. Odredi vrijednost izraza $a^3 + b^3 + c^3$.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Odredi sve parove $(m, n)$ prirodnih brojeva za koje je $m(m - 4n) = n - 4$.

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt{9 - 5x} - \sqrt{3 - x} = \dfrac{6}{\sqrt{3 - x}}$.

Sir se nalazi u točki $(13,13)$, a miš trči pravocrtno od točke $(4, -2)$ do točke $(-1, 23)$. U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Pet strana drvene kocke obojano je plavom bojom dok je jedna strana neobojana. Kocka je potom razrezana na sukladne manje kockice od kojih $649$ ima točno jednu plavu stranu. Koliko je manjih kockica koje imaju točno dvije plave strane?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $a < b$ i neka je $S = \{a^2, a^2 + 1, a^2 + 2, \ldots, b^2\}$. Odredi sve parove brojeva $a$ i $b$ za koje je među elementima skupa $S$ točno $1\%$ kvadrata prirodnih brojeva.

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Za koliko je prirodnih brojeva $n$ vrijednost razlomka $$\frac{n + 2022}{n - 3}$$ cijeli broj?

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{AD}$ takva da je $|AS| = \sqrt{3} - 1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$, te siječe bridove $\overline{AB}$ i $\overline{AA'}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $z^2 = (1 + i) \cdot \overline{z}$.

Pet međusobno različitih realnih brojeva $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ uzastopni su članovi aritmetičkog niza, a njihov zbroj iznosi $50$. Odredi te brojeve ako su brojevi $a_1$, $a_2$ i $a_5$ uzastopni članovi geometrijskog niza.

Za kompleksne brojeve $p$ i $q$ vrijedi $p + q = 5$ i $p^2 + q^2 = 9$. Dokaži da je $p^n + q^n$ neparan cijeli broj za sve $n \in \mathbb{N}$.

Kružnica prolazi točkama $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, a njeno središte pripada pravcu $y = 2x - 6$. Odredi sinus obodnog kuta nad manjim lukom $\widehat{AB}$ te kružnice.

Od $27$ sukladnih bijelih kockica sastavljena je kocka te su sve njene vanjske strane obojene crno.

(a) Slučajno je odabrana jedna od tih kockica i postavljena na stol na slučajno odabranu stranu. Kolika je vjerojatnost da svih pet vidljivih strana kockice bude bijele boje?

(b) Na stolu se nalazi kockica kojoj je svih pet vidljivih strana bijele boje. Kolika je vjerojatnost da je i šesta strana te kockice bijela?

Izračunaj $$\sum_{k=1}^{1011} \binom{2022}{2k-1}2^{k-1}$$

U ovisnosti o prostom broju $p$ odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$m^2 = n^2 - 4np + 3p^2$$