Croatian Competitions 2023

Dana je ploča $n \times n$, obojana poput šahovske, pri čemu je gornje lijevo polje crne boje. Azra u svakom koraku bira šest polja ploče koja tvore $2 \times 3$ ili $3 \times 2$ pravokutnik i sadrže točno tri bijela polja, te ta tri polja zacrni. Za koje $n$ Azra može postići da sva polja budu crne boje?

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$

Za svaki prirodan broj $n$ neka su $a_n$ i $b_n$ realni brojevi takvi da je $(\sqrt{3} + i)^n = a_n + ib_n$. Dokaži da izraz $$\frac{a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_n}{a_{n+1} a_n + b_{n+1} b_n}$$ poprima istu vrijednost za sve $n \in \mathbb{N}$ te odredi tu vrijednost.

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti cijeli brojevi i $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinom takav da je $P(a) = a^3$ i $P(b) = b^3$. Odredi $P(1)$.

Dvije kružnice sijeku se u točkama $A$ i $B$, a pritom manja kružnica prolazi središtem veće. Tangente na manju kružnicu u točkama $A$ i $B$ sijeku veću kružnicu ponovno u točkama $A_1$ i $B_1$. Dokaži da je pravac $A_1B$ simetrala kuta $\measuredangle AA_1B_1$.

Nikola je zamislio deveteroznamenkasti broj $\overline{a_1a_2a_3\ldots a_9}$ u čijem se dekadskom prikazu svaka od znamenaka od 1 do 9 pojavljuje točno jednom. Zatim je izračunao 6 zbrojeva $$\overline{a_1a_2a_3} + \overline{a_2a_3a_4}, \quad \overline{a_2a_3a_4} + \overline{a_3a_4a_5}, \quad \overline{a_3a_4a_5} + \overline{a_4a_5a_6},$$ $$\overline{a_4a_5a_6} + \overline{a_5a_6a_7}, \quad \overline{a_5a_6a_7} + \overline{a_6a_7a_8}, \quad \overline{a_6a_7a_8} + \overline{a_7a_8a_9}$$ i napisao na papir najveći od njih. Koji je najmanji broj koji je mogao zapisati na papir?

Otac Matko prije $10$ godina imao je pet puta više godina nego njegova dva sina Josip i Kristijan zajedno. Tada je Josip bio dvostruko stariji od Kristijana. S druge strane, za $14$ će godina Josip i Kristijan zajedno imati jednako godina kao i njihov otac. Koliko su sada stari Matko, Josip i Kristijan?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$, $M$ polovište hipotenuze i $L$ sjecište simetrale pravog kuta s hipotenuzom. Ako mjera kuta $\measuredangle LCN$ iznosi $15°$, odredi mjeru kuta $\measuredangle MCL$.

Dokaži da je za sve prirodne brojeve $n$ broj $n^4 - n^2$ djeljiv s $12$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi različiti od nule za koje vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$$ Dokaži da je $abc < 0$.

Na ploči su napisana $2023$ različita realna broja. Ako svaki broj na ploči (istovremeno) zamijenimo zbrojem svih ostalih brojeva, na ploči će biti ista $2023$ broja kao i na početku. Koje sve vrijednosti može poprimiti umnožak svih brojeva na ploči u nekom trenutku?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Neka su $1 = d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_5 = 289$ i $d_3 - d_2 = 10$. Odredi $n$.

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Neka su $p$ i $q$ prosti brojevi takvi da su $p + q + 4$ i $pq - 12$ također prosti brojevi. Odredi $p + q$.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $x$ realan broj različit od $-1$ i $1$. Dokaži da vrijedi $$x^2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} \geq 2.$$

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$\begin{cases} a^2 - 2ab + c^2 = ac - 13 \\ b^2 + ac = 23 \end{cases}$$

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanji prirodan broj koji se može prikazati u obliku $50a^4$ i u obliku $3b^3$ za neke prirodne brojeve $a$ i $b$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Na početku je zadan prirodan broj $n$. Jurica odabire dva prirodna broja $a$ i $b$ čiji je umnožak broj $n$, a zatim ponavlja postupak s brojem $a + b$ umjesto $n$.

Odredi, u ovisnosti o broju $n$, najmanji mogući prirodan broj koji Jurica može dobiti kao rezultat nakon konačno mnogo koraka.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da vrijedi $|AB| = 4$, $|AD| = 3$, te je mjera kuta pri vrhu $A$ jednaka $60°$. Kružnica $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ dok kružnica $k_2$ dira stranice $\overline{CB}$ i $\overline{CD}$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ su sukladne i dodiruju se izvana. Odredi duljinu polumjera tih kružnica.

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$13^{n+1} + 14^{2n-1}$$ djeljiv sa $183$.

Dokaži da je $$\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024} + \frac{3^{2024}}{\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024}}$$ prirodan broj.

Članovi niza $x_1, x_2, x_3, \ldots$ dobiveni su množenjem odgovarajućih članova dvaju aritmetičkih nizova. Prva tri člana tako nastalog niza su $x_1 = 1440$, $x_2 = 1716$ i $x_3 = 1848$. Odredi osmi član tog niza.

U nekoj školi učenici mogu učiti dva klasična jezika: latinski i grčki. Od $100$ učenika, njih $50$ uči latinski, $40$ grčki, a $20$ ih uči oba jezika. Ako slučajno odaberemo dva učenika, kolika je vjerojatnost da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki?

U trokut $ABC$ površine $1$ upisan je pravokutnik $PQRS$ tako da točke $P$ i $Q$ leže na stranici $\overline{AB}$, točka $R$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $S$ na stranici $\overline{AC}$. Odredi najveći mogući iznos površine pravokutnika $PQRS$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, p)$ gdje je $p$ prost, a $x$ i $y$ prirodni brojevi za koje vrijedi $$p^x - 1 = y^3.$$