Local Competitions 2025

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABH$ u točki $A$ siječe pravac $CH$ u točki $K$, a tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AHC$ u točki $A$ siječe pravac $BH$ u točki $L$. Dokaži da točke $B, C, K$ i $L$ pripadaju istoj kružnici.

Za neparni prirodan broj $n > 1$ na ploči su napisani brojevi $n, n+1, \ldots, 2n-1$. Dokaži da se s ploče može izbrisati jedan broj tako da zbroj preostalih brojeva na ploči ne bude djeljiv nijednim od preostalih brojeva na ploči.

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$.

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$.

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$, a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$. Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$, $5$ i $7$?

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$, dok Markov broj pratitelja raste za $20$. Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?

Odredite realan parametar $m$ za koji je kvadrat razlike rješenja jednadžbe $x^2 + 2mx + m = 1$ najmanji te odredite najmanju pripadnu vrijednost.

Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ za koje je funkcija $f, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$f(x) = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$ rastuća.

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Ako su korijeni jednadžbe $x^2 + 2x + c = 0$ međusobno različiti realni brojevi, za neki realan parametar $c$, dokažite da tada korijeni jednadžbe $$(1 + c)(x^2 + 2x + c) - 2(c - 1)(x^2 + 1) = 0$$ ne mogu biti realni.

Ako je $$\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}} = a,$$ koliko je $(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2})^3$?

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$

Odredite zbroj koeficijenata uz sve neparne potencije od $x$ u razvoju zbroja binoma

$$\left(x + \sqrt{x^3 - 1}\right)^5 + \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right)^5,$$

gdje je $x > 1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Zadan je pravac s jednadžbom $y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{5}$. Dokažite da je udaljenost svake točke s cjelobrojnim koordinatama do zadanog pravca veća od $\dfrac{1}{30}$.

Pronađite sve parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi

$$x^2 + y^2 = 2025.$$

Zadan je niz $(a_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ takav da je $a_0 = a$, $a_1 = b$, gdje su $a$, $b\in \mathbb{R}$, i

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n \geq 2.$$

Odredite $a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1}$.

Koliko ima tročlanih podskupova skupa $S = \{1,2,3,\ldots,50\}$ kojima je umnožak članova djeljiv s $4$?

Sinusi unutarnjih kutova nekog pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. U kojem su omjeru duljine stranica tog trokuta?