Croatian Competitions 2008

Neka su $a, b, c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva

$$(a + b + c)^2 - 9ab, \quad (a + b + c)^2 - 9bc, \quad (a + b + c)^2 - 9ca$$

nenegativan.

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva oblika $\overline{37abc}$ takvih da je svaki od brojeva $\overline{37abc}$, $\overline{37bca}$ i $\overline{37cab}$ djeljiv s $37$?

Neka je $OAB$ četvrtina kruga sa središtem $O$ polumjera $1$. Nad dužinama $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$, kao promjerima, konstruirane su polukružnice s unutarnje strane dane četvrtine kruga. Izračunaj polumjer kružnice koja dodiruje te dvije polukružnice i luk $\widehat{AB}$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva

$$n + 1, n + 2, \ldots, n + 12$$

nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} \geq \frac{3}{2}.$$

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Dan je četverokut $ABCD$ s kutovima $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 120^\circ$. Dijagonale $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ sijeku se u točki $S$, pri čemu je $2|BS| = |SD| = 2d$. Iz polovišta $P$ dijagonale $\overline{AC}$ spuštena je okomica $\overline{PM}$ na dijagonalu $\overline{BD}$, a iz točke $S$ okomica $\overline{SN}$ na $\overline{PB}$.

Dokaži:

(a) $|MS| = |NS| = \dfrac{d}{2}$;

(b) $|AD| = |DC|$;

(c) $P(ABCD) = \dfrac{9d^2}{2}$.

Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.

Duljine stranica trokuta su tri uzastopna prirodna broja, a jedan od kutova trokuta je dvaput veći od jednog od preostalih dvaju kutova. Odredi duljine stranica trokuta.

Neka su $x_1$, $x_2$, ..., $x_{n-1}$, $x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n} x_i = 1$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x_1^2}{x_1 + x_2} + \frac{x_2^2}{x_2 + x_3} + \ldots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1} + x_n} + \frac{x_n^2}{x_n + x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

Bočni brid pravilne trostrane piramide je $b = 1$, a njezin obujam je $V = \dfrac{1}{6}$. Koliki je kut pri vrhu bočne strane?

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.

Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost

$$\frac{1}{\sqrt[m]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$

Odredi formulu za zbroj

$$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{n^2 - 1} \rfloor.$$

Tu je $\lfloor r\rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

Nad stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL$, $BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajedničku stranicu).

a) Ako je $D$ točka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokaži da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.

b) Dokaži da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{KN}$ i središta kvadrata $ABKL$, $BCMN$ vrhovi kvadrata.

U prostoru je dano šest različitih točaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$. Dokaži da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\measuredangle T_iOT_j \leq 90^\circ$.

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.