Croatian Competitions 2024

Na karticama su zapisani svi prirodni brojevi od 1 do $2024^2$. Zbroj svih tih brojeva iznosi $2024A$. Manuel je odabrao $2024$ kartice s brojevima čiji je zbroj jednak $A$. Dokaži da Neva može preostale kartice rasporediti u $2023$ skupine tako da u svakoj skupini budu po $2024$ kartice i da zbroj brojeva na karticama u svakoj skupini bude jednak $A$.

Dokaži da svi članovi niza $$a_1 = 4 \cdot 2024^1 - 2024, \quad a_2 = 4 \cdot 2024^2 - 20244, \quad \ldots, \quad a_n = 4 \cdot 2024^n - \underbrace{2024\ldots4}_{n \text{ puta}}, \text{ za } n \in \mathbb{N},$$ daju ostatak 11 pri dijeljenju s 19.

Neka su $x_1$, $x_2$ i $x_3$ različite nultočke polinoma $P(x) = x^3 - 3x + 1$. Odredi $$\frac{1}{x_1^2 - 3} + \frac{1}{x_2^2 - 3} + \frac{1}{x_3^2 - 3}.$$

Neka je $ABCDE$ peterokut upisan u kružnicu sa središtem $O$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{EB}$ sijeku se u točki $P$, a dužine $\overline{BD}$ i $\overline{EC}$ u točki $Q$. Ako su pravci $PQ$ i $AD$ međusobno paralelni, dokaži da je pravac $EO$ okomit na ta dva pravca.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoji točno pet prirodnih brojeva $n$ takvih da je $n + p \mid n^3 + p^2$.

Odredi (ako postoji) najveći prirodni broj koji se ne može prikazati kao zbroj nekih, ne nužno različitih, elemenata skupa $\{135, 136, 137, \ldots, 144\}$.

Koji je broj veći, $$A = 2022 \cdot (2024^2 - 2024 + 1) \quad \text{ili} \quad B = 2024^3 - 3 \cdot 2024^2 + 3 \cdot 2024?$$

Neka su $a, b, c, d$ međusobno različiti cijeli brojevi takvi da vrijedi $$(a - 2024)(b - 2024)(c - 2024)(d - 2024) = 9.$$ Odredi $a + b + c + d$.

Farmer Ivan na svojoj farmi ima kokoši, svinje i ovce. Njegove životinje imaju ukupno $46$ glava i $124$ noge. Kada bi udvostručio broj kokoši i utrostručio broj ovaca na farmi, uz isti broj svinja, ukupan broj nogu svih životinja na farmi bio bi $232$. Koliko bi u tom slučaju bilo glava?

Odredi najmanji prirodni broj kojem je zbroj znamenaka djeljiv sa $7$ te ima svojstvo da je zbroj znamenaka njegovog sljedbenika također djeljiv sa $7$.

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $P$ točka takva da je kut $\measuredangle ABP$ je pravi, da vrijedi $|BP| = |BC|$ te da su točke $P$ i $C$ su na suprotnim stranama pravca $AB$. Dokaži da je pravac $CP$ okomit na simetralu kuta $\measuredangle BAC$.

Dan je trokut $ABC$ površine $1$. Točka $D$ polovište je dužine $\overline{BC}$, točka $E$ polovište je dužine $\overline{AD}$, točka $F$ polovište je dužine $\overline{BE}$ te je točka $G$ polovište dužine $\overline{CF}$. Odredi površinu trokuta $EFG$.

Koliko ima peteroznamenkastih prirodnih brojeva kojima je umnožak znamenaka jednak $900$?

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ takve da je $$x^2 + y^2 = 10(x + y).$$

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Riješi nejednadžbu $$\frac{(1 + x)^2}{1 + y} \leqslant 1 + \frac{x^2}{y}.$$ Za koje parove $(x, y)$ se postiže jednakost?

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$. Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$. Ako je $|AB| = 2$ i $|CD| = 1$, odredi $|OC|$.

Kažemo da je prirodni broj $n \geqslant 2$ tajanstven ako za svaki njegov djelitelj $d$ veći od $1$ vrijedi $d^2 + n \mid n^2 + d$. Odredi sve tajanstvene prirodne brojeve.

Na slici je prikazan skup od $16$ točaka raspoređenih na $10$ istaknutih pravaca. Za dvije točke tog skupa kažemo da su vezane ako pripadaju istom istaknutom pravcu.

a) Koliko je najviše točaka promatranog skupa moguće odabrati tako da među njima ne bude vezanih točaka?

b) Odredi broj podskupova promatranog skupa točaka bez vezanih točaka s najvećim mogućim brojem elemenata.

Odredi sva realna rješenja nejednadžbe $$\log_9 x^2 - \log_3 (x + 8) \leqslant \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1.$$

Ako je $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x + 1}{\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x + 2} = \frac{4}{9}$, odredi $\sin x \cos x$.

Dan je trokut $ABC$ površine $5$. Ako za duljine stranica tog trokuta vrijedi jednakost $|AB|^2 + |AC|^2 = 17 + |BC|^2$, odredi tangens kuta $\measuredangle CAB$.

Na školskom natjecanju iz matematike sudjelovalo je $1200$ učenika. Broj bodova koje učenik može ostvariti je cijeli broj između $0$ i $50$. Računalnom greškom svim je učenicima koji su ostvarili $3$ ili manje bodova zapisan rezultat $0$ bodova, a svim učenicima koji su ostvarili $47$ ili više bodova zapisano je $50$ bodova. Zbog te greške, prosječni rezultat na natjecanju prema podacima u računalu veći je za $0.1$ od stvarnog.

Dokaži da postoje brojevi $a$ i $b$ takvi da se broj učenika koji su ostvarili točno $a$ bodova i broj učenika koji su ostvarili točno $b$ bodova razlikuje za barem $20$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je vrijednost izraza $$\frac{n^2 - 22 + \log_2 n}{n - 5}$$ cijeli broj.

Kružnice $k_1$, $k_2$ i $k_3$ sa središtima $S_1$, $S_2$, $S_3$ i polumjerima duljina $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$, redom, međusobno se dodiruju izvana tako da je $A$ diralište kružnica $k_1$ i $k_2$, $B$ diralište kružnica $k_2$ i $k_3$ te $C$ diralište kružnica $k_3$ i $k_1$. Odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi proste brojeve $p, q, r$ i prirodni broj $n$ za koje vrijedi $$p^2 = q^2 + r^n.$$ Nađi sva rješenja.

Djevojke Marija i Magdalena igraju šahovski meč u tri partije. Vjerojatnosti da Marija u pojedinoj partiji pobijedi, izgubi ili da partija završi remijem su međusobno jednake. Ukupna pobjednica meča je djevojka koja ostvari više pobjeda (u tri partije), a ako budu imale jednak broj pobjeda, meč završava neodlučenim rezultatom.

Kolika je vjerojatnost da Marija bude ukupna pobjednica meča?

Odredi sve uređene parove $(p, n)$ gdje je $p$ prost, a $n$ prirodan broj za koje vrijedi $$1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n = 2801.$$

Neka je $(a_n)$ niz definiran sa $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ i $$a_n = a_{n-1} + (n-1)a_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Dokaži da vrijedi $a_{2024} \geqslant \sqrt{2024!}$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ za koje vrijedi $$D(m, 20) = n, \quad D(n, 15) = k \quad \text{i} \quad D(m, k) = 5,$$ gdje je $D(a, b)$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$.

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ te $4z_3 = 3(z_1 + z_2)$. Koliko je $|z_1 - z_2|$?

Pravokutni trokuti $ABC$ i $ABD$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{AB}$, a katete $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ im se sijeku u točki $E$. Neka je $F$ ortogonalna projekcija točke $E$ na pravac $AB$. Dokaži da je $FE$ simetrala kuta $\measuredangle CFD$.

Niz znamenaka sastoji se od jedinica i nula. Među bilo kojih $200$ uzastopnih znamenaka jednako je jedinica i nula, a među bilo koje $202$ uzastopne znamenke broj jedinica i broj nula se razlikuju. Koja je najveća moguća duljina takvog niza?