Local Competitions 1997

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Zadani su realni brojevi $a < b < c < d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p, q, r, s$ za koje je $\{a, b, c, d\} = \{p, q, r, s\}$, a vrijednost izraza $$(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - s)^{2} + (s - p)^{2}$$ je najmanja.

Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ koje iznutra diraju kružnicu $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

Na beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednake kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?

Neka je $ABCDEF$ pravilni šesterokut sa središtem $O$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{DE}$, a $L$ točka presjeka pravaca $AM$ i $BN$. Dokažite:

(a) $P(ABL) = P(DMLN)$;

(b) $\measuredangle ALD = \measuredangle OLN = 60^\circ$;

(c) $\measuredangle OLD = 90^\circ$.

Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a.$$

U decimalnom zapisu broja $2^{1997}$ ima $m$ znamenaka, a u zapisu broja $5^{1997}$ ima $n$ znamenaka. Kolika je suma $m + n$?

U ravnini je dano $1997$ točaka. Dokažite da među svim udaljenostima po dvije od tih točaka ima barem $32$ različite.

Neka su $x, y, z, a, b, c$ cijeli brojevi za koje vrijedi: $$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} &= a^{2}, \\ x^{2} + z^{2} &= b^{2}, \\ y^{2} + z^{2} &= c^{2}. \end{aligned}$$

Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s

(a) $5$,

(b) $55$.

Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^{2}x| + \cdots + |\cos 2^{n}x| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}}.$$

Neka su u tetraedru $ABCD$ površine strana $ABD$, $ACD$, $BCD$ i $BCA$ redom jednake $S_{1}$, $S_{2}$, $Q_{1}$, $Q_{2}$, a prostorni kut između strana $ABD$ i $ACD$ jednak $\alpha$, odnosno $\beta$ između $BCD$ i $BCA$. Dokažite da je $$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2S_{1}S_{2}\cos\alpha = Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} - 2Q_{1}Q_{2}\cos\beta.$$

Nad stranicama trokuta $ABC$ konstruirani su slični trokuti $ABD$, $BCE$, $CAF$ ($k = |AD| : |DB| = |BE| : |EC| = |CF| : |FA|$; $\alpha = \measuredangle ADB = \measuredangle BEC = \measuredangle CFA$). Dokažite da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{EF}$ vrhovi paralelograma, čiji je jedan kut jednak $\alpha$, a omjer duljina odgovarajućih stranica $k$.

Nadite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.

U ravnini je dana kružnica $k$ i točka $K$. Za bilo koje dvije različite točke $P$ i $Q$ na $k$, kružnica $k'$ prolazi kroz točke $P$, $Q$ i $K$. Neka je $M$ sjecište tangente na kružnicu $k'$ u točki $K$ i pravca $PQ$. Opišite geometrijsko mjesto točaka $M$ kada $P$ i $Q$ prolaze svim točkama kružnice $k$.

Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1) = 1, \quad f(2) = 2,$$ $$f(n + 2) = f(n + 2 - f(n + 1)) + f(n + 1 - f(n)), \quad (n \geq 1).$$

(a) Pokažite da je $f(n + 1) - f(n) \in \{0, 1\}$ za svaki $n \geq 1$.

(b) Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n + 1) = f(n) + 1$.

(c) Za dani prirodan broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n) = 2^{k-1} + 1.$$

Neka je $k$ prirodan broj. Odredite broj nesukladnih trokuta kojima su vrhovi u vrhovima zadanog pravilnog $6k$-terokuta.