Local Competitions 2021

U nekom arhipelagu je $n$ otoka među kojima prometuju dvosmjerne brodske i avionske linije. Između svaka dva otoka postoji točno jedna direktna linija – ili brodka, ili avionska. Kažemo da je arhipelag uredno povezan ako svako kružno turističko putovanje koje počinje i završava na istom otoku koristi paran broj avionskih linija.

Za koje prirodne brojeve $n$ svaki uredno povezan arhipelag s $n$ otoka ima paran broj avionskih linija?

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $m! + 8$ potencija nekog prostog broja.

Neka je $w = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})$. Odredi najveći broj $n \in \mathbb{N}_0$ za koji postoje kompleksni brojevi $a, b, c$ tako da za svaki $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ vrijedi

$$a + b w^{k} + c w^{2k} = k.$$

Za tako određeni $n$ nađi sve trojke $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju gornje jednakosti.

Neka su $x, y$ i $z$ realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 1$. Neka je

$$S = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}.$$

a) Ako su $x, y$ i $z$ pozitivni brojevi, dokaži da je $S < 1$.

b) Dokaži da je $S < 1$ ako i samo ako su brojevi $x, y$ i $z$ istog predznaka.

U nogometnom klubu je $n$ igrača koji imaju dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$. Na kraju sezone igrač s brojem 1 završava karijeru. Uprava bira jednog od ostalih igrača kojeg prodaje nekom drugom klubu, dok svih preostalih $n - 2$ igrača dobiva dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$.

Na koliko načina uprava može odabrati igrača za prodaju i preostalima dati brojeve tako da nijedan igrač nema veći broj od onog koji je imao ove sezone?

Neka je $ABC$ trokut i $O$ središte njegove opisane kružnice. Pravac $p$ okomit je na simetralu kuta $\measuredangle BAC$, prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$ te polovištem dužine $\overline{AO}$. Odredi veličinu kuta $\measuredangle BAC$.

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Točke $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$ povezane su dužinama kao na slici. Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ sijeku dužinu $\overline{DE}$ redom u točkama $F$ i $G$. Ako je $\measuredangle ABC = 20^{\circ}$ i ako je $\measuredangle DFA = \measuredangle CGE$, odredi $\measuredangle EAB + \measuredangle DEA$.

Svaki od trojice prijatelja popisao je svojih deset omiljenih računalnih igara. Na sva tri popisa zajedno našlo se $15$ različitih igara. Uspoređujući svoje popise uočili su da svaka dvojica imaju po $6$ istih igara na popisu. Koliko se igara nalazi na sva tri popisa?

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6, 8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $APQ$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ i proste brojeve $p$ takve da je $$6n^2 - (2p + 9)n + p + 3 = 0.$$

Zapisan je $2021$-znamenkasti broj. Svaki dvoznamenkasti broj koji čine dvije uzastopne znamenke tog broja (bez promjene poretka) djeljiv je sa $17$ ili s $23$. Znamenka jedinica danog broja je $7$. Koja je njegova prva znamenka?

Dana je žica duljine $10$ m koju treba presjeći na dva dijela, te od jednog dijela napraviti kvadrat, a od drugog jednakostranični trokut. Na kojem mjestu treba presjeći žicu da bi ukupna površina kvadrata i jednakostraničnog trokuta bila što manja?

U svako polje tablice $10 \times 10$ upisan je po jedan prirodni broj, a svih $20$ zbrojeva brojeva u njezinim retcima i stupcima međusobno su različiti. Koliko iznosi najmanji mogući zbroj svih brojeva u tako popunjenoj tablici?

Odredi sve parove $\{a, b\}$ različitih realnih brojeva takve da jednadžbe $$x^2 + ax + b = 0 \quad \text{i} \quad x^2 + bx + a = 0$$ imaju barem jedno zajedničko rješenje u skupu realnih brojeva.

Neka je $ABCD$ pravokutnik u kojem je $|AB| = 1$ i $|BC| = \sqrt{3}$. Upisane kružnice trokuta $ABC$ i $ACD$ diraju dužinu $\overline{AC}$ u točkama $M$ i $N$. Odredi $|MN|$.

Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Sve točke prostora čija udaljenost od dužine $\overline{AB}$ iznosi najviše $3$ čine tijelo obujma $216\pi$. Odredi duljinu dužine $\overline{AB}$.

Polja ploče dimenzija $300 \times 300$ iste su veličine kao i $14$ kvadratića od kojih se sastoji lik prikazan na slici. Koliko je najviše takvih likova moguće postaviti na tu ploču bez preklapanja? Likove se može rotirati i prevrtati.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^b - b^a + 2^a = 17a^4 - 2b^2 + 52.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Gumena lopta bačena je s visine od $200$ metara. Svaki put nakon što se odbije od površine, dosegne $4/5$ prethodne visine: nakon prvog odbijanja popne se na $160$ metara, nakon drugog odbijanja na $128$ metara, itd. Koliko iznosi ukupna udaljenost koju lopta prijeđe dok se ne zaustavi?

Zadana je elipsa s jednadžbom $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ i hiperbola kojoj su žarišta u glavnim tjemenima te elipse, a tjemena u žarištima elipse. Odredi sjecišta hiperbole i elipse.

Rekurzivno je zadan niz: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 3,$$ $$a_n = (n + 1)a_{n-1} - na_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $a_n$ djeljivo s $9$.

Odredi posljednje tri znamenke broja $21^{2021}$.

Svaki član niza $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini geometrijske i aritmetičke sredine dvaju njemu susjednih članova.

Ako je $a_1 = \dfrac{1}{505}$ i $a_{505} = 505$, odredi $a_{1010}$.

Figura postavljena na oplošje kocke $K_n$ dimenzija $n \times n \times n$ na strani na kojoj se nalazi napada sva polja u retku i stupcu u kojima se nalazi, poput šahovskog topa, ali i polja na ostalim stranama u produžetcima tih redaka/stupaca. (Na slici su označena vidljiva polja na kocki $K_4$ koja postavljena figura napada.)

Koliko najviše figura možemo postaviti na oplošje kocke $K_{50}$ tako da se međusobno ne napadaju?