Croatian Competitions 2016

Niz $a_1, a_2, \ldots$ pozitivnih realnih brojeva zadovoljava uvjet

$$a_{k+1} \geq \frac{ka_k}{a_k^2 + k - 1}$$

za svaki prirodni broj $k$. Dokaži da je

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n$$

za svaki $n \geq 2$.

U ravnini je dan skup $A$ koji sadrži $2016$ točaka tako da nikoje četiri točke iz skupa $A$ ne leže na istom pravcu. Dokaži da je moguće odabrati podskup $B \subset A$ koji sadrži barem $63$ točke tako da nikoje tri točke iz skupa $B$ ne leže na istom pravcu.

Zadan je tetivni četverokut $ABCD$ takav da se tangente u točkama $B$ i $D$ na njegovu opisanu kružnicu $k$ sijeku na pravcu $AC$. Točke $E$ i $F$ leže na kružnici $k$ tako da su pravci $AC$, $DE$ i $BF$ paralelni. Neka je $M$ sjecište pravaca $BE$ i $DF$. Ako su $P$, $Q$ i $R$ nožišta visina trokuta $ABC$, dokaži da točke $P$, $Q$, $R$ i $M$ leže na istoj kružnici.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Dan je prirodni broj $n$. Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$ vrijedi nejednakost

$$\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leq \frac{(n+1)^2}{4n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)^2.$$

Na ploči $N \times N$ ($N \geq 2$) dva su dijagonalno suprotna kutna polja obojana u crno, a sva ostala obojana su u bijelo. U jednom koraku odaberemo redak ili stupac i promijenimo boju svakom polju u tom retku ili stupcu iz crne u bijelu i obratno. Koji je najmanji dodatni broj polja koje na početku moramo obojati u crno kako bismo nakon konačnog broja opisanih koraka mogli dobiti ploču na kojoj su sva polja crna?

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2) + x f(y) = f(x) f(x + f(y)).$$

Dano je $N \geq 3$ točaka u ravnini takvih da nikoje tri ne leže na istom pravcu. Svaka dužina koja spaja dvije dane točke je obojana crvenom ili plavom bojom. Dokaži da postoji $N - 1$ dužina iste boje koje ne dijele ravninu na više od jednog dijela takve da se nikoje dvije ne sijeku osim u vrhovima.

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dana je funkcija $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takva da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x f (y)) + f (x ^ {2}) = f (x) (x + f (y))$$

te da je $f(2) = 3$. Odredi $f(2^{2016})$.

Može li se ploča $12 \times 12$ popločati L-trominima tako da svaki redak i svaki stupac siječe isti broj tromina?

L-tromino se sastoji od tri jedinična kvadrata koja se ne nalaze u istom stupcu ili retku.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Polupravci $AD$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. U unutrašnjosti trokuta $DCP$ dana je točka $M$ takva da pravac $PM$ raspolavlja kut $\measuredangle CMD$. Pravac $CM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $DMP$ ponovno u točki $Q$, a pravac $DM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $CMP$ ponovno u točki $R$.

a) Dokaži da dužine $\overline{CQ}$ i $\overline{DR}$ imaju jednaku duljinu.

b) Dokaži da trokuti $PAQ$ i $PBR$ imaju jednaku površinu.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Dana je dužina $\overline{AD}$ duljine 3. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $\overline{AD}$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ takve da vrijedi $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{7}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $$c = a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}.$$ Dokaži da je $c$ kvadrat nekog prirodnog broja.

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5. Odredi broj točaka svake boje.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $a + 2b + c > 0$ i $a - 2b + c < 0$. Dokaži da vrijedi $b^2 > ac$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m, n)$ za koje postoje cijeli brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 + c^2 = 2^m \cdot 3^n.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka je $t$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $A$. Kružnica sa središtem u točki $A$ koja prolazi točkom $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$, a pravac $t$ u točkama $E$ i $F$ tako da su $C$ i $E$ s iste strane pravca $AB$. Dokaži da središte upisane kružnice trokuta $ABC$ leži na pravcu $DE$.

Odredi sve trojke pozitivnih realnih brojeva $(x, y, z)$ takve da vrijedi $$x^3 + 2y^2 + \frac{1}{4z} = 1, \quad y^3 + 2z^2 + \frac{1}{4x} = 1, \quad z^3 + 2x^2 + \frac{1}{4y} = 1.$$

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\measuredangle ADC = 90°$. Ako je $|AB| = a$, $|BC| = b$, $|BD| = d$, $\measuredangle ABC = \beta$, dokaži da vrijedi $$2d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \sin \beta.$$

Dokaži da ne postoji prirodni broj $k$ takav da su $$k + 4 \quad \text{i} \quad k^2 + 5k + 2$$ kubovi nekih prirodnih brojeva.

Neka su $x$, $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $xyz = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x^6 + 2}{x^3} + \frac{y^6 + 2}{y^3} + \frac{z^6 + 2}{z^3} \geqslant 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right).$$

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $ABH$ ima središte $S$ i siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $B$ i $D$. Neka je $P$ presjek pravca $DH$ i dužine $\overline{AC}$, te neka je $Q$ središte opisane kružnice trokuta $ADP$. Dokaži da je četverokut $BDQS$ tetivan.

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(xy + 1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2.$$

U jednom retku redom su napisani brojevi $1, 2, \dots, 2016$. U svakom idućem retku napisani su redom zbrojevi dvaju susjednih brojeva. Npr. u drugom retku su napisani brojevi $3, 5, \dots, 4031$. U zadnjem retku je samo jedan broj. Koji je to broj?

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $$\measuredangle BAC = 48°, \quad \measuredangle CAD = 66°, \quad \measuredangle CBD = \measuredangle DBA.$$ Odredi kut $\measuredangle BDC$.

Nađi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ takve da vrijedi $3^m + 7^n = k^2$.

U utrci sudjeluje 200 biciklista. Na početku utrke biciklisti su poredani jedan iza drugoga. Kažemo da neki biciklist pretječe ako mijenja mjesto s biciklistom neposredno ispred sebe. Tijekom utrke poredak se mijenja samo kad neki biciklist pretječe.

Neka je $A$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao točno jednom, te neka je $B$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao najviše jednom. Dokaži da vrijedi $$2A = B.$$

Opseg pravokutnog trokuta iznosi $18$, a površina $9$. Kolika je duljina hipotenuze tog trokuta?

a) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka $987654$;

b) Dokaži da ne postoje dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka $987654$.

Odredi najmanju moguću vrijednost izraza $$a^2 + 5b^2 + 8c^2 - 4ab - 4bc - 8c + 24,$$ pri čemu su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, te odredi $a$, $b$ i $c$ za koje se ta vrijednost postiže.

U trokutu $ABC$ kut kod vrha $A$ je dvostruko veći od kuta kod vrha $B$. Neka simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Dokaži da vrijedi $$|BC| = |AD| + |AC|.$$

Na koliko načina možemo obojati polja ploče $2 \times 2016$ u dvije boje tako da ne postoje tri polja iste boje koja se mogu istovremeno pokriti pločicom oblika kao na slici? Pločicu je dozvoljeno rotirati.

Dan je jednakokračni pravokutni trokut čije su katete duljine $10$. Odredi najveću moguću površinu pravokutnika čija jedna stranica leži na hipotenuzi, a po jedan vrh na katetama danog trokuta.

Neka su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ rješenja jednadžbe $x^3 - 2x + 2 = 0$. Odredi $$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 1}{c - 1}.$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(m, k)$ za koje vrijedi $$20m = k(m - 15k)?$$

Na kružnici $k$ nalaze se točke $A$ i $B$, a na manjem luku $\widehat{AB}$ točka $P$. Neka su $Q$ i $R$ točke na $k$, različite od $P$, takve da je $|AP| = |AQ|$ i $|BP| = |BR|$. Neka je $T$ sjecište pravaca $AR$ i $BQ$. Dokaži da su pravci $PT$ i $AB$ međusobno okomiti.

Polja ploče $2 \times 50$ potrebno je obojati u dvije boje, crvenu i plavu, tako da budu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• na ploči se pojavljuju obje boje
• uklanjanjem svih crvenih polja ploča ostaje povezana
• uklanjanjem svih plavih polja ploča ostaje povezana.

Ploča je povezana ako se od svakog polja može doći do svakog drugog, prelazeći u svakom koraku s polja na njemu susjedno polje. Polja su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da vrijedi $$a^3 - 3b = 15,$$ $$b^2 - a = 13.$$

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Neka je $k$ kružnica s promjerom $\overline{AB}$ i $t$ tangenta kružnice $k$ s diralištem u točki $A$. Neka je $P$ bilo koja točka na kružnici $k$ i neka je $N$ ortogonalna projekcija točke $P$ na pravac $t$. Odredi kut $\measuredangle ABP$ za koji izraz $|PB| + |PN|$ ima najveću moguću vrijednost.