Croatian Competitions 2020

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1.$$

Ako je $a$ najmanji, a $b$ najveći broj među brojevima $x_1, x_2, \ldots, x_n$, dokaži da je $ab \leq -\dfrac{1}{n}$.

Ante je zapisao niz $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ u kojem se svaki od brojeva $1, 2, \ldots, 2020$ pojavljuje točno jednom. Barbara želi saznati taj niz, a Ante joj daje informacije kroz niz razmjena.

U jednoj razmjeni Barbara na papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te neke od njih spoji crtom i to tako da je svaki broj spojen s najviše jednim drugim i preda taj papir Anti. Ante zatim na drugi papir zapiše brojeve od $1$ do $2020$ te za svaki par brojeva $i$ i $j$ koje je Barbara spojila crtom, on spoji crtom brojeve $a_i$ i $a_j$, te na kraju preda taj papir Barbari.

Koliko je najmanje razmjena potrebno da Barbara može sa sigurnošću odrediti Antin niz?

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| < |AC|$. Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, redom su dane točke $P$ i $Q$ takve da su pravci $AQ$ i $CP$ okomiti, a kružnica upisana trokutu $ABC$ dira dužinu $\overline{PQ}$. Pravac $CP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $C$ i $T$.

Ako se pravci $CA$, $PQ$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, dokaži da je kut $\measuredangle CAB$ pravi.

Za prirodni broj kažemo da je neobičan ako je zbroj recipročnih vrijednosti svih njegovih pozitivnih djelitelja različit od zbroja recipročnih vrijednosti svih pozitivnih djelitelja bilo kojeg drugog prirodnog broja.

(a) Dokaži da su svi prosti brojevi neobični.

(b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu neobični.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(x + yf(x)) = f(xf(y)) - x + f(y + f(x)).$$

Dano je $n$ cigli od kojih svaka ima masu barem $1$. Ukupna masa svih $n$ cigli je $2n$.

Dokaži da za svaki realni broj $r \in [0, 2n-2]$ možemo odabrati neke od tih cigli čija je ukupna masa u intervalu $[r, r+2]$.

Dana je kružnica promjera $\overline{AB}$. Na toj kružnici, s različitih strana pravca $AB$, nalaze se točke $C$ i $D$ takve da vrijedi $|AC| < |BC|$ i $|AC| < |AD|$. Točka $P$ pripada dužini $\overline{BC}$ te vrijedi $\measuredangle CAP = \measuredangle ABC$. Okomica iz točke $C$ na pravac $AB$ siječe pravac $BD$ u točki $Q$. Pravci $PQ$ i $AD$ sijeku se u točki $R$, a pravci $PQ$ i $CD$ u točki $T$.

Ako je $|AR| = |RQ|$, dokaži da su pravci $AT$ i $PQ$ međusobno okomiti.

Skup $A \subset \mathbb{N}$ zovemo neprijateljskim ako za svaki par $(a,b)$ brojeva iz $A$ postoji $k \in \mathbb{N}_0$ takav da je $M(a,b) = 2^k$. Postoji li beskonačan skup $S \subset \mathbb{N}$ sa svojstvom da je skup svih mogućih zbrojeva dvaju različitih elemenata skupa $S$ neprijateljski skup?

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj i neka je $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ strogo rastući niz realnih brojeva takav da je $\sum_{k=1}^n a_k = 2$. Neka je $M$ neki podskup skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ za koji je vrijednost izraza $\left|1 - \sum_{k \in M} a_k\right|$ najmanja moguća.

Dokaži da postoji strogo rastući niz realnih brojeva $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ takav da je $\sum_{k=1}^n b_k = 2$, za koji vrijedi $\sum_{k \in M} b_k = 1$.

Splet je konačan skup pravaca u općem položaju (tj. svaka dva pravca se sijeku, ali nikoja tri ne prolaze istom točkom). Pravci spleta dijele ravninu na područja čije su stranice dužine ili polupravci. Labirint je splet u kojem je svaki pravac obojan, poput zida, s jedne strane crvenom, a s druge strane plavom bojom. Dva područja sa zajedničkim vrhom koja u toj točki imaju i crvene i plave stranice nazivamo povezanima. Po labirintu se kreću mravi koji mogu prijeći iz područja u kojem se nalaze samo u područje koje je s njim povezano. Za splet $S$ definiramo $k(S)$ kao najveći broj mrava koje je moguće razmjestiti po svakom labirintu na $S$ tako da se nikoja dva mrava ne mogu sastati krećući se po labirintu.

Za $n \in \mathbb{N}$, odredi sve moguće vrijednosti $k(S)$ pri čemu je $S$ splet od $n$ pravaca.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Neka su $k_B$ i $k_C$ kružnice upisane trokutima $BDF$ i $CDE$, redom. Kružnica $k_B$ dodiruje dužinu $\overline{DF}$ u točki $M$, a kružnica $k_C$ dužinu $\overline{DE}$ u točki $N$. Pravac $MN$ siječe kružnicu $k_B$ u točkama $M$ i $P$, a kružnicu $k_C$ u točkama $N$ i $Q$.

Dokaži da je $|MP| = |NQ|$.

Dan je prirodni broj $C$. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sa sljedećim svojstvom:

za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $a + b > C$, vrijedi $a + f(b) \mid a^2 + bf(a)$.

Odredi sve periodične nizove $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva sa svojstvom da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}} + x_n\right).$$

Dan je jednakostraničan trokut na čijoj se svakoj stranici označeno po $9$ točaka koje dijele tu stranicu na $10$ sukladnih dijelova. Te su točke spojene s ukupno $27$ dužina paralelnih stranicama trokuta. Na taj način trokut je podijeljen na $100$ malih jednakostraničnih trokuta. Područje između dvije susjedne paralelne dužine nazivamo prugom.

Koliko najviše malih trokuta možemo odabrati tako da unutar nijedne pruge ne budu dva odabrana trokuta?

Neka je $ABC$ trokut. Kružnica $k$ prolazi točkom $A$, siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$ i $E$ (različitim od $A$), a stranicu $\overline{BC}$ u točkama $F$ i $G$ i pritom je $F$ između $B$ i $G$. Tangenta opisane kružnice trokuta $BDF$ u točki $F$ i tangenta opisane kružnice trokuta $CEG$ u točki $G$ sijeku se u točki $T$, različitoj od $A$.

Dokaži da su pravci $AT$ i $BC$ međusobno paralelni.

Funkcija $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ je pseudopolinom ako za svaka dva različita broja $a, b \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $$a - b \mid f(a) - f(b).$$

Odredi sve pseudopolinome takve da za svaki $n \in \mathbb{N}_0$ vrijedi $f(n) \leq n\sqrt{n}$.

Odredi najmanju vrijednost izraza $$|x + 1| + |x - 2| + |x - 3|,$$ pri čemu je $x$ realni broj.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle BAC = 60°$ i $|AB| > |AC|$. Ako je $I$ središte upisane kružnice, a $H$ ortocentar tog trokuta, dokaži da je $2\measuredangle AHI = 3\measuredangle ABC$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše su dvije u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$n^2 + n = k^2 + 2k - 9.$$

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su oba rješenja kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b + 1 = 0$ prirodni brojevi. Dokaži da je $a^2 + b^2$ složen prirodni broj.

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Odredi sve realne brojeve $a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_{2020} \geqslant 0$ za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2020} = 1 \quad \text{i} \quad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{2020}^2 = a_1.$$

Ana je prekrila ploču dimenzija $2020 \times 2020$ domino pločicama koje se međusobno ne preklapaju, a svaka od njih prekriva točno dva polja ploče. Branka želi obojiti te pločice tako da za svaku vrijedi: među njoj susjednim pločicama najviše je jedna u boji promatrane. Dvije pločice su susjedne ako prekrivaju polja koja imaju zajedničku stranicu.

Koliko je najmanje boja potrebno da bi Branka sigurno mogla obojiti pločice na takav način, neovisno o načinu na koji ih je Ana rasporedila?

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a + b = cd, \quad ab = c + d.$$

Dana su četiri različita realna broja iz intervala $\langle 0, 1\rangle$. Dokaži da među njima postoje dva broja, $x$ i $y$, takva da vrijedi $$0 < x\sqrt{1 - y^2} - y\sqrt{1 - x^2} < \frac{1}{2}.$$

Za točku $L$ koja se nalazi unutar trokuta $ABC$ vrijedi $$\measuredangle LBC = \measuredangle LCA = \measuredangle LAB = \measuredangle CAL.$$

Dokaži da je umnožak duljina dviju stranica tog trokuta jednak kvadratu duljine treće stranice.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0, 0)$, $(A, 0)$, $(A, B)$ i $(0, B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n, k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Odredi sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$(1 - z + z^2)(1 - z^2 + z^4)(1 - z^4 + z^8) \cdots (1 - z^{2^{n-1}} + z^{2^n}) = \frac{3z^{2^n}}{1 + z + z^2}.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi $$f(x) + xf(2 - x) = 3x - x^2.$$

Na stranici $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ zadana je točka $D$. Simetrala kuta $\measuredangle CAD$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$. Kružnica opisana trokutu $ABD$ siječe dužinu $\overline{AE}$ u točkama $A$ i $F$, a pravac $BF$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $G$. Pravac kroz točku $G$ paralelan s $\overline{DF}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $H$.

Dokaži da je pravac $GE$ tangenta kružnice opisane trokutu $BHG$.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0,0)$, $(A,0)$, $(A,B)$ i $(0,B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n,k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Neka su $x$, $y$ i $z$ različiti realni brojevi od kojih nijedan nije jednak nuli, takvi da vrijedi

$$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}.$$

Odredi vrijednost izraza $x^2 y^2 z^2$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Koliko najmanje brojeva treba ukloniti iz skupa $\{1,2,3,\ldots,2020\}$ tako da nastali skup ne sadrži umnožak svojih dvaju različitih elemenata?

Odredi sve uređene trojke $(x,y,z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$x ^ {2} + y ^ {2} = 5, \qquad x z + y = 7, \qquad y z - x = 1.$$

Odredi sve uređene parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takve da je $V(a,b) - D(a,b) = \dfrac{ab}{5}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$3 \sqrt [ 3 ]{(14 - x) ^ {2}} - 2 \sqrt [ 3 ]{(14 + x) ^ {2}} = 5 \sqrt [ 3 ]{x ^ {2} - 196}.$$

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Na koliko se načina u polja ploče dimenzija $2 \times n$ mogu upisati brojevi $1,2,\ldots,2n$ tako da uzastopni brojevi budu u poljima sa zajedničkom stranicom?

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.