Croatian Competitions 2003

Dokažite da trokut čije su duljine stranica prosti brojevi ne može imati cjelobrojnu površinu.

Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq x + y + z,$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k,$$ za svaki prirodan broj $k$.

U jednakokračnom trokutu duljina osnovice je $a$, duljina kraka $b$, duljina visine na osnovicu $v$, pri čemu vrijedi: $\dfrac{a}{2} + v \geq b\sqrt{2}$. Odredite kutove trokuta. Kolika je površina trokuta ako je $b = 8\sqrt{2}$?

Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

Nadite sve parove realnih brojeva $(x,y)$ za koje vrijedi $$(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}.$$

Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1, B_1, C_1, D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM, BM, CM, DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1| \cdot |C_1D_1| = |A_1D_1| \cdot |B_1C_1|.$$

Za pozitivne brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n, n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = s$. Dokažite nejednakost $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \ldots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{n}{n - 1}.$$

Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?

U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \measuredangle CAB$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\gamma = \measuredangle BCA$.

a) Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$.

b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite!

Dokažite jednakost $$\left\lfloor \frac{n(n + 1)}{4n - 2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n + 1}{4} \right\rfloor,$$ za svaki prirodan broj $n > 2$.

Svi bridni kutovi pri vrhu $D$ tetraedra $ABCD$ jednaki su $\alpha$, a kutovi između dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh $D$ jednaki su $\varphi$. Dokažite da postoji točno jedan kut $\alpha$ za koji je $\varphi = 2\alpha$.

Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojene plavo, a preostalih $24$ crveno. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj plavih i crvenih kvadrata $(1 \times 1)$.

Neka je $I$ točka na simetrali kuta $\measuredangle BAC$ trokuta $ABC$, a $M$ i $N$ redom točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, takve da je $\measuredangle ABI = \measuredangle NIC$ i $\measuredangle ACI = \measuredangle MIB$. Dokažite da je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$ ako i samo ako su točke $M$, $N$ i $I$ kolinearne.

Niz realnih brojeva $(a_n)_{n \geq 0}$ ima svojstvo da za sve $m \geq n \geq 0$ vrijedi $$a_{m+n} + a_{m-n} = \frac{1}{2}(a_{2m} + a_{2n}).$$ Odredite $a_{2003}$ ako je $a_1 = 1$.

Prirodni brojevi od $1$ do $2003$ poredani su u niz. Na nizu vršimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak $k$, okrenemo poredak prvih $k$ brojeva. Dokazati da se nakon konačno uzastopnih primjena ove operacije broj $1$ pojavi na prvom mjestu, nezavisno od početnog rasporeda.

Dokažite da je $$\binom{n}{p} - \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$$ djeljivo s $p$, za svaki prost broj $p$ i svaki prirodan broj $n \geq p$.