Croatian Competitions 2004

Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi $$x^2 - y^2 = 2(xz + yz + x + y),$$ $$y^2 - z^2 = 2(yx + zx + y + z),$$ $$z^2 - x^2 = 2(zy + xy + z + x).$$

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$|BC|^2 + |AC|^2 = 5|AB|^2.$$

Dokažite da za svaka tri realna broja $x, y, z$ vrijedi nejednakost $$|x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| \geq 0.$$

Niz znamenaka $1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, \ldots$ konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.

a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2, 0, 0, 4$, tim redom?

b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1, 2, 3, 4$, tim redom?

Pojedini dijelovi pravilnog peterokuta $ABCDE$ imaju površine označene sa $x$, $y$, $z$ kao na slici. Ako je zadana površina $x$, nadite površine $y$ i $z$, te površinu cijelog peterokuta.

Dokažite da za pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi nejednakost $$\frac{a^2}{(a + b)(a + c)} + \frac{b^2}{(b + c)(b + a)} + \frac{c^2}{(c + a)(c + b)} \geq \frac{3}{4}.$$

Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način: $p_1 = 2$ i za $n \geq 2$, $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$. Dokažite da je $p_n \neq 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1,1)$ po sljedećim pravilima:

(i) iz točke $(a,b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a,b)$, odnosno $(a,2b)$;

(ii) ako je $a > b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a - b,b)$, a ako je $a < b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a,b - a)$.

Da li žaba može stići u točku

(a) $(24,40)$,

(b) $(40,60)$,

(c) $(24,60)$,

(d) $(200,4)$?

Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $\widehat{AB}$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}?$$

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos \alpha}{a^3} + \frac{\cos \beta}{b^3} + \frac{\cos \gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc},$$ pri čemu su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ odgovarajući kutovi.

Visine trostrane piramide sijeku se u jednoj točki. Dokažite da ta točka, težište jedne strane piramide, nožište visine na tu stranu i tri točke koje dijele preostale tri visine u omjeru $2:1$, počevši od vrha piramide, leže na istoj sferi.

Konačan broj polja beskonačne kvadratne mreže obojen je crnom bojom. Dokažite da je u toj ravnini moguće odabrati konačno mnogo kvadrata koji zadovoljavaju svaki od sljedećih uvjeta:

(i) Unutrašnjosti svaka dva različita kvadrata su disjunktne (imaju prazan presjek).

(ii) Svako crno obojeno polje leži u nekom od tih kvadrata.

(iii) Površina crnih polja u svakom od odabranih kvadrata je barem $\frac{1}{5}$, a najviše $\frac{4}{5}$ površine tog kvadrata.

Neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1,1\}$ vrijedi $$|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n| \leq |\varepsilon_1 w_1 + \ldots + \varepsilon_n w_n|.$$

Dokažite da je $$|z_1|^2 + \ldots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \ldots + |w_n|^2.$$

Unutar trokuta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajućim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje točke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $$\measuredangle BPC = \measuredangle CPA = \measuredangle APB = 120°,$$ $$\measuredangle BQC = 60° + \alpha, \quad \measuredangle CQA = 60° + \beta, \quad \measuredangle AQB = 60° + \gamma.$$

Dokažite da vrijedi jednakost $$(|AP| + |BP| + |CP|)^3 \cdot |AQ| \cdot |BQ| \cdot |CQ| = (abc)^2.$$

Nizovi realnih brojeva $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$, $n \in \mathbb{N}$, definirani su formulama $$x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n^2 - 1}, \quad y_{n+1} = \frac{2y_n}{y_n^2 - 1}, \quad z_{n+1} = \frac{2z_n}{z_n^2 - 1},$$

a početni članovi su $x_1 = 2$, $y_1 = 4$ i $z_1$ takav da vrijedi $x_1 y_1 z_1 = x_1 + y_1 + z_1$.

a) Provjerite da su za svaki $n \in \mathbb{N}$ zadovoljeni uvjeti: $x_n^2 \neq 1$, $y_n^2 \neq 1$, $z_n^2 \neq 1$.

b) Da li postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $x_k + y_k + z_k = 0$?

Odredite sve realne brojeve $\alpha$ sa svojstvom da su svi brojevi u nizu $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 2^2\alpha, \ldots, \cos 2^n\alpha, \ldots$$ negativni.