Croatian Competitions 2011

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c = 3$ vrijedi $$\frac{a^2}{a + b^2} + \frac{b^2}{b + c^2} + \frac{c^2}{c + a^2} \geq \frac{3}{2}.$$

Na nekoj zabavi među bilo koje četiri osobe postoje tri koje se sve međusobno poznaju ili postoje tri koje se međusobno ne poznaju. Poznanstva su uzajamna. Dokaži da se svi sudionici te zabave mogu smjestiti u dvije prostorije tako da se u jednoj prostoriji svi međusobno poznaju, a u drugoj nitko nikoga ne poznaje.

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $OT \perp AT$. Neka je $A'$ drugo sjecište pravca $AT$ i kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $BA'$ i $AC$, a točka $E$ sjecište pravaca $CA'$ i $AB$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ADE$ leži na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Neka su $a$ i $b$ relativno prosti prirodni brojevi različiti od $1$. Definiran je niz $$x_1 = a, \qquad x_2 = b, \qquad x_n = \frac{x_{n-1}^2 + x_{n-2}^2}{x_{n-1} + x_{n-2}} \quad \text{za } n \geq 3.$$

Dokaži da niti jedan član $x_n$ ovog niza, osim prva dva, nije prirodni broj.

Za prirodni broj $d$ definiran je niz $$a_0 = 1, \qquad a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2}, & \text{ako je } a_n \text{ paran}, \\ a_n + d, & \text{inače}. \end{cases}$$

Za koje vrijednosti broja $d$ postoji prirodni broj $n$ za koji je $a_n = 1$?

Dani su prirodni brojevi $M$ i $N$. Promatramo $N^2$ žarulja raspoređenih u tablicu s $N$ redaka i $N$ stupaca. Svaka žarulja može biti uključena ili isključena, a na početku su sve žarulje isključene.

Potez se sastoji od odabira bilo kojih $M$ uzastopnih žarulja u nekom retku ili stupcu te mijenjanja njihovog stanja, tako da svaka od odabranih $M$ žarulja koja je prije bila isključena, nakon poteza bude uključena, i obratno.

Ako je konačnim brojem poteza moguće postići da sve žarulje budu uključene, dokaži da je broj $M$ djelitelj broja $N$.

Na polukružnici s promjerom $\overline{AB}$ dane su točke $K$ i $L$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe dužinu $\overline{KL}$ u točki $U$ i pritom su točke $A$ i $K$ s jedne strane te simetrale, a $B$ i $L$ s druge. Neka je $N$ nožište okomice iz sjecišta pravaca $AK$ i $BL$ na pravac $AB$, a $V$ točka na pravcu $KL$ takva da je $\measuredangle VAU = \measuredangle VBU$.

Dokaži da su pravci $NV$ i $KL$ međusobno okomiti.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$x^3 + x^2 + x = y^2 + y.$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{Z}$ vrijedi: $$f(f(a) + f(b)) = a + b - 1.$$

Svaka strana i svaka dijagonala nekog konveksnog $n$-terokuta obojana je u neku od $k$ boja. Poznato je da ne postoji jednobojna zatvorena izlomljena linija kojoj su vrhovi također i vrhovi danog mnogokuta. Kolika je najveća moguća vrijednost broja $n$?

Neka je $k$ upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ sa središtem u točki $I$, a $k_c$ pripisana kružnica istog trokuta nasuprot kuta $\angle BCA$. Ako je točka $D$ diralište stranice $\overline{AB}$ i kružnice $k_c$, a točka $S$ sjecište pravca $DI$ s kružnicom $k_c$ (različito od točke $D$), dokaži da je pravac $DI$ simetrala kuta $\angle ASB$.

Nađi (jedan) cijeli broj $a$ takav da za polinom $P(x) = x^5 + ax$ tvrdnja $$\text{ako } n \mid P(k) - P(l) \text{ onda } n \mid k - l, \text{ za sve } k, l \in \mathbb{Z}$$ vrijedi samo za konačno mnogo prirodnih brojeva $n$, među kojima je i $n = 95$.

Odredi sve nizove $a: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$a_n + a_{n+1} = a_{n+2}a_{n+3} - 200.$$

Neka je $n \geq 3$ prirodan broj. Odredi minimalni broj točaka koje treba označiti unutar bilo kojeg konveksnog $n$-terokuta tako da svaki trokut kojem su vrhovi ujedno vrhovi tog $n$-terokuta sadrži u svojoj unutrašnjosti barem jednu označenu točku.

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ dana je točka $S$ takva da je $\measuredangle SAB = \measuredangle SBC = \measuredangle SCA$. Pravci $AS$, $BS$, $CS$ sijeku redom kružnice opisane trokutima $SBC$, $SCA$, $SAB$ u točkama $A_1$, $B_1$, $C_1$. Dokaži nejednakost $$P(A_1CB) + P(B_1AC) + P(C_1BA) \geq 3P(ABC).$$

Za prirodan broj $n$ promatramo skup $$S = \{0, 1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3 + \dots + (n-1)\}.$$

a) Ako je $n$ potencija broja $2$, dokaži da svi elementi od $S$ daju različite ostatke pri dijeljenju s $n$.

b) Ako $n$ nije potencija broja $2$, dokaži da postoje dva elementa od $S$ koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$.

Odredi $x_{1006}$ ako je

$$\frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 3} = \frac{x_3}{x_3 + 5} = \dots = \frac{x_{1006}}{x_{1006} + 2011},$$

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{1006} = 503^2.$$

Izvan pravilnog mnogokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se točka $B$ takva da je trokut $A_1A_2B$ jednakostraničan. Odredi sve $n$ za koje su točke $B$, $A_2$ i $A_3$ uzastopni vrhovi nekog pravilnog mnogokuta.

Četiri prirodna broja $a, b, c, d$ zadovoljavaju jednakosti

$$a + b = c, \quad a + d = 2c.$$

Pokaži da postoji pravokutni trokut površine $abcd$ kojemu su duljine svih stranica prirodni brojevi.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$. Kružnica koja prolazi točkom $E$, vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$. Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

Supružnici Ana i Tomislav došli su na zabavu na kojoj su sudjelovala još četiri para. Prilikom dolaska dogodio se izvjestan broj rukovanja. Pritom se nitko nije rukovao sa svojim bračnim drugom niti sa samim sobom. Kada je kasnije Tomislav upitao sve prisutne s koliko su se osoba rukovali, dobio je devet različitih odgovora. S koliko se osoba rukovala Ana?

Odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva takve da $n$ dijeli $2m - 1$ i $m$ dijeli $2n - 1$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su sve nultočke polinoma

$$P(x) = x^3 + a x^2 + b x - 8$$

realne. Dokaži da vrijedi $a^2 \geqslant 2b + 12$.

Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav

$$2^{|x|} + |x| = x^2 + y + a$$

$$x^2 + y^2 = 1$$

ima točno jedno rješenje $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$, a simetrala kuta $\measuredangle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $|BC| = |BD| + |AD|$. Odredi kutove tog trokuta.

U vreći se nalazilo $255$ kuglica označenih brojevima $1, 2, \ldots, 255$, a onda je svaki od $N$ učenika uzeo je iz vreće po jednu kuglicu. Pokazalo se da nijedan od izvučenih brojeva nije točno dvostruko veći od nekog drugog izvučenog broja. Odredi najveći mogući $N$.

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$, u kojem je $M$ polovište katete $\overline{BC}$. Dokaži da je $\sin(\measuredangle MAB) \leqslant \dfrac{1}{3}$. Kada se postiže jednakost?

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu

$$x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1.$$

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $|AD| < |CD|$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\measuredangle APC$ pravi kut. Ako je $\measuredangle ABP = \measuredangle BCP$, odredi $|AD| : |CD|$.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i $k$ prirodan broj takav da vrijedi

$$ab + bc + ca \geqslant 3k^2 - 1.$$

Dokaži da je $\frac{1}{3}(a^3 + b^3 + c^3) \geqslant abc + 3k$.

Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.

Dokaži da je za svaki $k \in \mathbb{N}_0$ moguće odabrati $4 \cdot 2^k$ različitih prirodnih brojeva koji nisu veći od $5 \cdot 3^k$, tako da među njima ne postoje tri uzastopna člana aritmetičkog niza.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi:

$$f(x^2 + f(y)) = y - x^2.$$

Na koliko načina se broj $\dfrac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\dfrac{n + 1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.

Upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Središte te kružnice je točka $S$, a pravac $DS$ siječe dužinu $\overline{EF}$ u točki $P$. Ako je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$, dokaži da su točke $A$, $P$ i $M$ kolinearne.

Neka je $P_1, P_2, \ldots, P_{2n}$ permutacija vrhova pravilnog $2n$-terokuta. Dokaži da zatvorena poligonalna linija koja se sastoji od dužina

$$\overline{P_1P_2}, \overline{P_2P_3}, \ldots, \overline{P_{2n-1}P_{2n}}, \overline{P_{2n}P_1}$$

sadrži barem jedan par paralelnih dužina.