Croatian Competitions 2021

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $ab + bc + ca = 1$.

Dokaži da je $$\frac{4}{a + b + c} \leq (a + b)(c\sqrt{3} + 1).$$

Na svakom polju ploče dimenzija $n \times n$ nalazi se po jedna žarulja. Na početku su neke žarulje upaljene, a neke ugašene. U svakom koraku biramo kvadrat $2 \times 2$ ili $3 \times 3$ te svim žaruljama u tom kvadratu promijenimo stanje (upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo).

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoji raspored žarulja koje ne možemo sve ugasiti konačnim nizom takvih koraka.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut u kojem je $\measuredangle B > 90°$, $\measuredangle D > 90°$ te $\measuredangle A = \measuredangle C$. Neka su $E$ i $F$ redom točke osnosimetrične točki $A$ u odnosu na pravce $BC$ i $CD$. Neka dužine $\overline{AE}$ i $\overline{AF}$ sijeku pravac $BD$ redom u točkama $K$ i $L$.

Dokaži da se kružnice opisane trokutima $BKE$ i $FLD$ diraju.

Za svaki prost broj $p$ negdje u svemiru postoji planet $\mathcal{P}_p$ u čijem se oceanu nalazi točno $p$ otoka, $O_1, O_2, \ldots, O_p$. Između otoka $O_m$ i $O_n$ (za $m \neq n$) postoji most ako i samo ako je broj $(m^2 - n + 1)(n^2 - m + 1)$ djeljiv s $p$. S mosta nije moguće prijeći direktno na drugi most već samo na otok.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva $p$ za koje na planetu $\mathcal{P}_p$ nije moguće sa svakog otoka doći na svaki drugi krećući se samo po otocima i mostovima.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da izraz $$P(x + 3y) + P(3x - y)$$ ima istu vrijednost za sve realne brojeve $x$, $y$ za koje je $x^2 + y^2 = 1$.

Pravilni mnogokut $\mathcal{P}$ ima $100$ vrhova od kojih je $41$ crne, a preostalih $59$ bijele boje.

Dokaži da postoje $24$ međusobno disjunktna konveksna četverokuta čiji su vrhovi vrhovi od $\mathcal{P}$ te svaki od njih ima neparan broj crnih vrhova.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| = |BC|$ i točka $D$ na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AD| < |BD|$. Točke $P$ i $Q$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$. Simetrala dužine $\overline{PQ}$ siječe $\overline{CP}$ u točki $E$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $PQC$ sijeku se u točkama $C$ i $F$.

Ako su točke $E$, $F$ i $Q$ kolinearne, dokaži da je $\measuredangle ACB$ pravi kut.

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^5 + a^4 = 7^b - 1.$$

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje postoji funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takva da je $$f(x + f(y)) = f(x) + a\lfloor y\rfloor,$$ za sve realne brojeve $x$ i $y$.

Napomena: $\lfloor y\rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $y$. Npr. $\lfloor 1.7\rfloor = 1$, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$, $\lfloor 0\rfloor = 0$.

Neka je $N$ prirodan broj i neka je $S = \{1, 2, \ldots, N\}$. Neka su $a_{i,j}$ međusobno različiti realni brojevi takvi da za sve $i, j \in S$ vrijedi: ako je $i < j$, onda je $$a_{i,k} < a_{j,k} \quad \text{i} \quad a_{k,i} < a_{k,j}, \quad \text{za sve} \quad k \in S.$$

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $2(n-1)^2 < N$. Dokaži da postoje $n$-člani podskupovi $I, J \subset S$ takvi da vrijedi jedna od sljedeće dvije tvrdnje:

• za sve $i, k \in I$ vrijedi: ako je $i < k$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $j, l \in J$,

• za sve $j, l \in J$ vrijedi: ako je $j < l$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $i, k \in I$.

Dan je konveksan četverokut $ABCD$ čije se dijagonale sijeku u točki $P$. Neka su $X$ i $Y$ točke odabrane tako da četverokuti $ABPX$, $CDXP$, $BCPY$ i $DAYP$ budu tetivni. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $Q$, pravci $BC$ i $DA$ u točki $R$, a pravci $XR$ i $YQ$ u točki $Z$. Dokaži da točke $X$, $Y$, $Z$ i $P$ pripadaju istoj kružnici.

Funkcija $U: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definira se na sljedeći način: $$U(n) = \begin{cases} 1, & \text{za } n = 1, \\ \alpha_1^{p_1} \cdots \alpha_k^{p_k}, & \text{za } n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}, \text{gdje su } p_1, \ldots, p_k \text{ međusobno različiti prosti brojevi i } \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{N}. \end{cases}$$

Za $m \in \mathbb{N}$ neka je $U^{(m)}(n) = U(U(\ldots U(n)\ldots))$, pri čemu se $U$ primjenjuje $m$ puta.

Dokaži da za svaki prirodni broj $A$ postoji prirodni broj $B$ takav da je $U^{(m)}(A) = B$ za beskonačno mnogo prirodnih brojeva $m$.

Neka je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funkcija sa svojstvima:

(a) Postoji realan broj $M$ takav da je $|f(x)| \leq M$, za sve $x \in \mathbb{R}$.

(b) Za svaki realan broj $x$ vrijedi $$f\left(x + \frac{1}{2}\right) + f\left(x + \frac{1}{3}\right) = f(x) + f\left(x + \frac{5}{6}\right).$$

Pokaži da je funkcija $f$ periodična, odnosno da postoji pozitivan realan broj $T$ takav da je $f(x + T) = f(x)$ za sve $x \in \mathbb{R}$.

Za permutaciju $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ kažemo da je uravnotežena ako vrijedi $$a_1 \leq 2a_2 \leq \ldots \leq na_n.$$

Neka $S(n)$ označava broj uravnoteženih permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$.

Odredi $S(20)$ i $S(21)$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut čije se dijagonale sijeku u točki $E$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Neka je $X$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EBC$ i $EDA$ različito od $E$, a $Y$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EAB$ i $ECD$ različito od $E$. Konačno, neka je $W$ sjecište kružnica opisanih trokutima $PBC$ i $PDA$ različito od $P$. Dokaži da su trokuti $WQY$ i $WXP$ slični.

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$, a $s(n)$ zbroj svih pozitivnih djelitelja broja $n$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $$4s(n) = 3d(n)^2 + 1.$$

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2}, \\ y^{2} - z &= x^{2}, \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji zadovoljavaju jednakost $$3^{a} - 2^{b} = 2021.$$

U trapezu $ABCD$ zbroj duljina osnovica $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ jednak je duljini kraka $\overline{AD}$. Pravac paralelan osnovicama kroz sjecište dijagonala siječe krak $\overline{AD}$ u točki $E$. Dokaži da je $\measuredangle BEC = 90^{\circ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi koji zadovoljavaju jednakost $$|a + b| + |a + c| + |b + c| = 8.$$ Odredi najveću i najmanju moguću vrijednost izraza $$a^{2} + b^{2} + c^{2}$$ te odredi kada se ona postiže.

U nekom jeziku svaka je riječ niz slova $a$ i $b$. Svaka riječ ima barem jedno i najviše 13 slova, no nisu svi takvi nizovi riječi. Poznato je da nadovezivanjem jedne riječi na drugu nikad ne dobivamo riječ. Odredi najveći mogući broj riječi u tom jeziku.

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$x + \frac{1}{y - x} = 1 \quad \text{i} \quad y + \frac{1}{x - y} = 2.$$

Neka je $(a, b, c)$ trojka prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 + b^2 = c^2$.

Dokaži da broj $\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ nije prirodan te da je veći od 8.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| < |BC|$ i $\measuredangle BAC = 45^{\circ}$. Tangente na kružnicu opisanu tom trokutu u točkama $B$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Pravci $AC$ i $BD$ se sijeku u točki $E$ te vrijedi $|EA| = 3$ i $|AC| = 8$. Odredi površinu trokuta $CDE$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a \cdot 5^b - 1 = 11 \cdot 3^c.$$

Teta u vrtiću nadgleda igru $n$ djece koja sjede raspoređena ukrug. Svako dijete ima određeni broj bombona. Igra se sastoji od niza ovakvih koraka:

Svakom djetetu koje ima neparan broj bombona teta daje po još jedan bombon te svako dijete podijeli svoje bombone na dvije jednake hrpe. Zatim, u istom trenutku, svako dijete daje polovinu svojih bombona djetetu koje sjedi neposredno desno od njega.

Dokaži da će nakon konačno mnogo koraka sva djeca imati jednak broj bombona.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ među čijim djeliteljima postoje djelitelji $a$ i $b$ takvi da je $$a + b = n - 1.$$

Neka je $\alpha = \frac{2\pi}{2021}$. Izračunaj $$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \ldots \cdot \cos 1010\alpha.$$

Na kraćem luku $\widehat{CD}$ kružnice opisane kvadratu $ABCD$ nalazi se točka $M$. Neka su $P$ i $Q$ redom sjecišta pravca $AM$ s $\overline{BD}$ i $\overline{CD}$ te neka su $R$ i $S$ redom sjecišta pravca $BM$ s $\overline{AC}$ i $\overline{CD}$. Dokaži da su dužine $\overline{PS}$ i $\overline{QR}$ međusobno okomite.

Zapisan je niz od $n$ realnih brojeva među kojima je barem jedan pozitivan. Od članova tog niza označeni su

(a) svi pozitivni brojevi te

(b) svi brojevi kojima započinje neki niz uzastopnih članova tog niza pozitivnog zbroja.

Dokaži da je zbroj svih označenih brojeva pozitivan.

U raznostraničnom trokutu $ABC$ duljine dviju visina jednake su duljinama dviju težišnica. Koliki je omjer duljina preostale visine i preostale težišnice?

Neka je $(x_n)$ niz takav da je $x_0 = 1$, $x_1 = 2$, sa svojstvom da je niz $(y_n)$ zadan relacijom $$y_n = \binom{n}{0}x_0 + \binom{n}{1}x_1 + \ldots + \binom{n}{n}x_n, \quad \text{za } n \in \mathbb{N}_0$$ geometrijski niz. Odredi $x_{2020}$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodan broj te neka je $(p_1, \ldots, p_n)$ neka permutacija skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$. Pokaži da vrijedi $$\frac{1}{p_1 + p_2} + \frac{1}{p_2 + p_3} + \ldots + \frac{1}{p_k + p_{k+1}} + \ldots + \frac{1}{p_{n-1} + p_n} > \frac{n - 1}{n + 2}.$$

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a + 2021 = 3^b \cdot 25^c.$$

Dana je ploča dimenzija $n \times n$ i po jedna pločica dimenzija $1 \times 1$, $1 \times 2$, \ldots, $1 \times n$.

Na koliko načina je moguće odabrati $\frac{1}{2}n(n + 1)$ polja ploče tako da odabrani dio bude moguće prekriti horizontalno postavljenim pločicama, ali također i vertikalno postavljenim pločicama?

Dan je trokut $ABC$ čije je središte upisane kružnice točka $I$. Odabrane su dvije točke, točka $D$ na luku $\widehat{AB}$ opisane kružnice trokuta $ABC$ koji ne sadrži točku $C$, te točka $E$ na dužini $\overline{BC}$, tako da vrijedi $\measuredangle ADI = \measuredangle IEC$. Dokaži da postoji točka, neovisna o odabiru točaka $D$ i $E$, kojom pravac $DE$ prolazi.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$m(m - n)^2(m + n) = m^4 + mn^3 - 99n.$$

Izabela je sedam dana zaredom rješavala po jedan matematički test. Na svakom je testu ostvarila različit broj bodova – najmanje 91, a najviše 100. Nakon svakog testa prosjek njenih dotadašnjih rezultata bio je prirodan broj, a na sedmom testu je ostvarila 95 bodova.

Koliko je ukupno bodova Izabela ostvarila na svih sedam testova? Koliko je bodova ostvarila na šestom testu?

Za realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{30}$ vrijedi

$$20^3 x_1 + 21^3 x_2 + \cdots + 49^3 x_{30} = 13,$$

$$21^3 x_1 + 22^3 x_2 + \cdots + 50^3 x_{30} = 1,$$

$$22^3 x_1 + 23^3 x_2 + \cdots + 51^3 x_{30} = 19.$$

Koliko iznosi $21x_1 + 22x_2 + \cdots + 50x_{30}$?

Točka $M$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $N$ na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ odabrane su tako da vrijedi $\measuredangle BAM = \measuredangle MAC = \measuredangle NCB$. Dokaži da je

$$|AM|^2 = |AC| \cdot |AN| + |MC|^2.$$

Svakom od $12$ bridova kocke Martin pridružuje po jedan od brojeva $1$ ili $-1$. Zatim svakoj od šest strana te kocke pridružuje umnožak $4$ broja na bridovima te strane. Na kraju Martin zbraja svih $18$ brojeva pridruženih bridovima i stranama kocke.

Koliki je najmanji zbroj koji Martin može postići?

Odredi sve parove realnih brojeva $(a, b)$ koji zadovoljavaju sustav:

$$a^2 + b^2 = 25,$$

$$3(a + b) - ab = 15.$$

Odredi sve trojke prostih brojeva čiji je zbroj kvadrata umanjen za $1$ jednak kvadratu nekog prirodnog broja.

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$.

Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x = -1$, a jedna nultočka joj je $x = 3$. Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x = 3$, a jedna nultočka joj je $x = -1$.

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $D$ točka na luku $\widehat{CA}$ tom trokutu opisane kružnice koji ne sadrži točku $B$. Neka je $E$ točka takva da je $D$ polovište dužine $\overline{AE}$. Ako je $\measuredangle ECA = 90°$ i $\measuredangle IEC = 40°$, odredi $\measuredangle BAC$.

Neka je $n$ prirodni broj. Ako pravilan $n$-terokut podijelimo na $n-2$ trokuta povlačenjem $n-3$ dijagonala koje nemaju zajedničkih unutarnjih točaka kažemo da smo dobili triangulaciju. Triangulacija $n$-terokuta kojem su neki od vrhova crveni je dobra ako svaki od tih $n-2$ trokuta ima barem dva crvena vrha.

Odredi najmanji prirodni broj $k$, u ovisnosti o $n$, takav da možemo obojiti $k$ vrhova pravilnog $n$-terokuta crveno tako da postoji barem jedna dobra triangulacija.

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Središte $I$ upisane kružnice i središte $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ su osnosimetrične točke u odnosu na pravac $AB$. Točka $D$ je drugo sjecište pravca $AO$ i opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da vrijedi $|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AO|$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $2^m - 63$ kub nekog cijelog broja.