Local Competitions 2022

Ako je $a_1, a_2, \ldots, a_{2000}$ niz od $2000$ pozitivnih realnih brojeva, za koliko najviše indeksa $i \in \{1, 2, \ldots, 2000\}$ može vrijediti jednakost

$$a_i a_{i+3} = a_i a_{i+1} + a_{i+1} a_{i+2} + a_{i+2} a_{i+3}?$$

Smatramo da je $a_{j+2000} = a_j$ za $j \in \{1, 2, 3\}$.

Neka je $n \geqslant 3$ prirodan broj. Za prirodan broj $m \geqslant n + 1$ kažemo da je $n$-obojiv ako je $m$ kamenčića postavljenih na kružnici moguće obojati u $n$ boja tako da se među bilo kojih $n + 1$ uzastopnih kamenčića pojavljuje svih $n$ boja.

Dokaži da postoji konačno mnogo prirodnih brojeva $m \geqslant n + 1$ koji nisu $n$-obojivi i odredi najveći od njih.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje pstoji permutacija $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ skupa svih pozitivnih djelitelja od $n$ takva da je, za svaki $i \in \{1,2,\ldots,k\}$, broj $$d_1 + d_2 + \ldots + d_i$$ kvadrat prirodnog broja.

Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ vrijedi nejednakost

$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 100} \frac{(x_j - x_i)^2}{j^2 - i^2} \geqslant \frac{1}{101} \sum_{1 \leqslant i \leqslant 50} (x_{101-i} - x_i)^2.$$

Dokaži da za svaki prirodan broj $n > 10^6$ postoji višekratnik broja $n$ koji nije veći od $n^4$, čiji zapis u dekadskom brojevnom sustavu koristi najviše 4 različite znamenke.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| \neq |AC|$ i upisana kružnica dira stranice $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Okomica iz točke $D$ na pravac $EF$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $G$, a kružnice opisane trokutima $AEF$ i $ABC$ se sijeku u točkama $A$ i $T$.

Dokaži da su pravci $TG$ i $TF$ okomiti.

Neka je $a_1, a_2, a_3, \ldots$ beskonačan niz brojeva iz skupa $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ takav da za svaki par prirodnih brojeva $(m, n)$ vrijedi:

uvjeti $a_n | n$ i $a_m | m$ ispunjeni su ako i samo ako je $a_{m+n} = a_m + a_n - 1$.

Odredi sve vrijednosti koje može poprimiti $a_{5555}$.

Neka je $\mathbb{R}^+$ skup svih pozitivnih, a $\mathbb{R}_0^+$ skup svih nenegativnih realnih brojeva.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}_0^+$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) - f(x + y) = f(x^2 f(y) + x).$$

Neka je $n$ prirodan broj. U grupi od $n$ ljudi, neki među njima su prijatelji, a neki nisu. Prijateljstva su uzajamna.

Grupa je posjetila vidovnjaka. Svaka od $n$ osoba rekla je vidovnjaku koliko ima prijatelja u grupi. Vidovnjak je nakon toga rekao da za svaki par osoba iz grupe može sa sigurnošću odrediti jesu li prijatelji ili ne.

Ako je vidovnjak rekao istinu, dokaži da u grupi ili postoji osoba koja je prijatelj sa svima ostalima, ili postoji osoba koja nije prijatelj ni s kim.

Neka je $ABC$ raznostraničan šiljastokutan trokut. Točka $N$ je polovište duljeg luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je $k$ kružnica promjera $\overline{BC}$.

Simetrala kuta $\measuredangle BAC$ siječe kružnicu $k$ u točkama $D$ i $E$, a $D_1$ i $E_1$ su točke takve da su $\overline{DD_1}$ i $\overline{EE_1}$ promjeri kružnice $k$.

Dokaži da polovište dužine $\overline{BC}$ pripada kružnici opisanoj trokutu $NE_1D_1$.

Označimo s $\tau(k)$ broj pozitivnih djelitelja prirodnog broja $k$, a s $\varphi(k)$ broj prirodnih brojeva koji nisu veći od $k$, a relativno su prosti s $k$. Za prirodan broj $m$ kažemo da je lijep ako postoji prirodan broj $n$ takav da vrijedi

$$\frac{\tau(m)}{m} = \frac{\varphi(n)}{n}.$$

Postoji li beskonačno mnogo lijepih brojeva?

Neka je $\mathbb{Q}_0^+$ skup svih nenegativnih racionalnih brojeva.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}_0^+ \to \mathbb{Q}_0^+$ takve da za sve nenegativne racionalne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$yf(x + y) + (y - 1)f(xy) = f(y^2)f(x + 1).$$

Neka je $n$ prirodan broj. U selu živi $2n$ ljudi. Neki među njima su su prijatelji, a prijateljstva su uzajamna. Savršeno sparivanje je podjela stanovnika sela na $n$ parova tako da su u svakom paru dvije osobe koje su prijatelji.

Pretpostavimo da u selu postoji točno jedno savršeno sparivanje. Koji je najveći mogući broj prijateljstava u selu?

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da je $|AC| = |BC|$. Neka je $P$ točka na pravcu $AB$ takva da $B$ leži između $A$ i $P$. Opisana kružnica trokuta $ACD$ siječe dužinu $\overline{PD}$ u točki $Q$, $Q \neq D$. Opisana kružnica trokuta $APQ$ siječe dužinu $\overline{PC}$ u točki $R$, $R \neq P$.

Dokaži da se pravci $CD$, $AQ$ i $BR$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost, $m < n$, sa svojstvom da postoje prirodni brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ koji nisu djeljivi s $p$ takvi da vrijedi

$$\begin{aligned} ab + cd &= p^m, \\ ac + bd &= p^n. \end{aligned}$$

Natjecanje se održava u 11 učionica u kojima se nalazi isti broj klupa raspoređenih na isti način: u određenom broju stupaca i određenom broju redova. U svakoj je klupi po jedan učenik. Kada bi u svakoj učionici bio jedan red klupa manje i jedan stupac klupa više, bilo bi dovoljno 10 učionica, a još bi dvije klupe ostale prazne. Koliko ukupno može biti učenika na natjecanju ako je poznato da je njihov broj troznamenkast?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||x - 2| - x + a| = x + 3$$ ima točno dva realna rješenja.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je $\overline{BC}$ osnovica. S vanjske strane tog trokuta nacrtani su jednakokračni trokuti $CBD$, $ACE$ i $BAF$ slični trokutu $ABC$, kojima su osnovice redom $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{BF}$. Ako je $\measuredangle CAB = 38°$, odredi $\measuredangle EDF$.

Odredi sve parove nenegativnih cijelih brojeva $(k, m)$ za koje vrijedi $$3m^3 - m + 21 = 3^{3k+1} - 2 \cdot 3^{2k+2} + 3^{k+3} + 3^{k+2}.$$

Dan je konveksan mnogokut s 2022 vrha kojem se nikoje tri dijagonale ne sijeku u istoj točki. Potrebno je obojiti neke dijagonale crveno tako da iz svakog vrha izlazi barem jedna crvena dijagonala.

Koliko je najmanji mogući broj sjecišta (u vrhu ili unutrašnjosti) crvenih dijagonala?

Koeficijenti $a$, $b$ i $c$ kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$ tri su uzastopna prirodna broja (u nekom od šest mogućih poredaka), a njezina su rješenja realni brojevi. Dokaži da je jedno od rješenja broj $-1$.

Dvije kružnice polumjera 1 i 3 diraju se izvana u točki $A$, a njihova vanjska zajednička tangenta ih dira u točkama $B$ i $C$. Odredi zbroj kvadrata duljina stranica trokuta $ABC$.

Postoje li prirodni brojevi $k$ i $m$ takvi da je $2022^k + 2022^m$ kvadrat prirodnog broja?

Štapić je kvadar dimenzija $1 \times 1 \times 2$, a posuda je tijelo dobiveno uklanjanjem kockice $1 \times 1 \times 1$ iz kvadra dimenzija $3 \times 3 \times 2$ na sredini jedne od dviju polovica $3 \times 3 \times 1$. Ako je dopušteno koristiti koliko god je potrebno štapića i posuda, koliko je najmanje takvih tijela potrebno za sastavljanje kocke dimenzija $303 \times 303 \times 303$ bez rupa i preklapanja? Tijela je dopušteno rotirati.

Dani su pozitivni realni brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $abc = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{a + c\sqrt{a}}{a^2b + c + 2} + \frac{b + a\sqrt{b}}{b^2c + a + 2} + \frac{c + b\sqrt{c}}{c^2a + b + 2} \leq \frac{1}{2}(a + b + c).$$

Odredi sve realne brojeve $a$ takve da nejednakost $$\cos(2x) + 2a\cos x + 7 \geq 0$$ vrijedi za sve realne brojeve $x$.

Odredi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da je $$a^2 = 4b + 3 \cdot V(a, b),$$ pri čemu $V(m,n)$ označava najmanji zajednički višekratnik brojeva $m$ i $n$.

Na stranici $\overline{AB}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $D$. Neka su $X$ i $Y$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ADC$ i $BCD$. Dokaži da vrijedi $$P(XDY) \geq \frac{1}{4} P(ABC),$$ gdje je $P(KLM)$ površina trokuta $KLM$. Kada vrijedi jednakost?

U ravnini kvadrata $ABCD$, ali izvan njega, nalazi se točka $P$. Ako je $$|PA| = \sqrt{5}, \quad |PB| = \sqrt{26} \quad \text{i} \quad |PD| = \sqrt{20},$$ odredi duljinu stranice kvadrata.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje ne postoje prirodni brojevi $a, b, c$ takvi da je $n = a^2 + b^3 + c^6$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!} = m^3 + 37$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ takve da za sve $x \in \mathbb{N}_0$, $y \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$(f(x) + 1)(f(y) + 1) = (x + 1)(f(y - 1) + 1) + f(x + 1).$$

Dani su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ za koje polinom $$P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ ima svojstvo da je apsolutna vrijednost svake njegove nultočke jednaka 1.

Dokaži da i polinom $$Q(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c|$$ ima isto svojstvo.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Pravac koji prolazi točkom $Q$ siječe kružnice $k_1$ i $k_2$ još u točkama $R$ i $S$, redom. Pravac $SP$ siječe kružnicu $k_1$ još u točki $M$, a pravac $RP$ siječe kružnicu $k_2$ još u točki $N$. Neka je $T$ sjecište pravaca $RM$ i $SN$.

Dokaži da je trokut $TMN$ jednakostraničan ako i samo ako je pravac $MN$ zajednička tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$.

Dana je ploča dimenzija $2020 \times 2022$. Za dva polja te ploče kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu ili se nalaze na početku i kraju istog retka ili stupca. Dakle, svako polje ima točno četiri susjedna polja.

Viktor u svakom koraku bira jedno polje ploče i na ploču postavlja pet žetona: po jedan na odabrano polje i na svako polje susjedno odabranom. Nakon konačnog broja takvih koraka, na svakom polju nalazi se točno $d$ žetona.

Odredi najmanji mogući $d$.

Tri traktora oru njivu. Ako prva dva traktora rade zajedno, treba im 15 dana da preoru cijelu njivu. Prvi i treći traktor preoru njivu radeći zajedno 8 dana, a sva tri traktora zajedno preoru njivu za 6 dana. Koliko dana svakom od traktora treba da samostalno preore cijelu njivu?

Odredi sve cijele brojeve $x, y, z$ za koje vrijede jednakosti $$x - yz = 1 \quad \text{i} \quad xz + y = 2.$$

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ paralelograma $ABCD$. Ako je $E$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AM$, dokaži da vrijedi $|CD| = |CE|$.

Realni brojevi $a$, $b$ i $c$ različiti su od nule i zadovoljavaju jednakosti $$a^2 + a = b^2,$$ $$b^2 + b = c^2,$$ $$c^2 + c = a^2.$$ Dokaži da vrijedi $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

U nekom je razredu trideset i troje učenika. Svaki učenik je na ploču napisao dva broja: koliko još učenika osim njega u razredu ima isto ime kao on, te koliko još učenika osim njega u razredu ima isto prezime kao on.

Ako se svaki od brojeva $0, 1, 2, \ldots, 10$ pojavljuje na ploči barem jednom, dokaži da u razredu postoji barem jedan par učenika istog imena i prezimena.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\sqrt{|x - 1| + |x + 4|} = |x|.$$

Neka su $a, b \in \mathbb{R}$. Rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + 1 = 0$ su realna. Ako svako od tih rješenja umanjimo za 1, dobit ćemo rješenja kvadratne jednadžbe $bx^2 + x + a = 0$. Odredi sve takve realne brojeve $a, b$.

Prirodni broj zovemo ljepuškastim ako zbrojen s nekim svojim djeliteljem daje rezultat 360. Odredi zbroj svih ljepuškastih brojeva.

Svi vrhovi šesterokuta $ABCDEF$ leže na kružnici promjera $\overline{AD}$. Pravac $BF$ siječe pravce $AD$ i $CE$ redom u točkama $G$ i $H$. Ako je $\measuredangle FEH = 56°$, $\measuredangle DGB = 124°$ i $\measuredangle DEC = 34°$, odredi $\measuredangle CEB$.

Prirodni broj $\overline{a_1a_2\ldots a_m}$ (uz $a_1 \neq 0$) je koncizan ako je broj $\overline{a_ia_{i+1}\ldots a_{i+k-1}}$ djeljiv s $k$ za sve prirodne brojeve $i$, $k$ takve da je $1 \leqslant k \leqslant m$ i $1 \leqslant i \leqslant m - k + 1$.

Na primjer, broj $102$ je koncizan jer su brojevi $1$, $0$ i $2$ djeljivi s $1$, brojevi $10$ i $2 (= \overline{02})$ djeljivi s $2$ te broj $102$ djeljiv s $3$.

Dokaži da postoji najveći koncizni prirodni broj i odredi ga.

Odredi sve realne brojeve $x, y$ za koje vrijede jednakosti $$x^{\log y} + \sqrt{y^{\log x}} = 110 \quad \text{i} \quad xy = 1000.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $\alpha, \beta \in \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ vrijedi $$\frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \beta} \geqslant 2\sqrt{\tan \alpha + \tan \beta}.$$ Kada vrijedi jednakost?

U trokutu $ABC$ točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a točka $D$ sjecište stranice $\overline{AC}$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Ako je $\measuredangle MDB = 90°$, dokaži da vrijedi $|AB| = 3|BC|$.

Postoji li pet međusobno različitih prirodnih brojeva takvih da je zbroj bilo kojih triju od njih djeljiv zbrojem preostalih dvaju?