Croatian Competitions 2014

Dan je realni broj $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$. Dokaži da za pozitivne realne brojeve $x, y, z$ vrijedi nejednakost: $$x(x - y)(\alpha x - y) + y(y - z)(\alpha y - z) + z(z - x)(\alpha z - x) \geqslant 0.$$

Dan je prirodni broj $M \geqslant 3$. Kažemo da je pravilni mnogokut sjajno obojan ako su sve njegove stranice i dijagonale obojane u točno $M$ boja tako da ne postoje tri vrha tog mnogokuta koja određuju trokut čije su stranice obojane u točno dvije boje.

Neka je $N$ najveći prirodni broj takav da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $N$ vrhova.

a) Dokaži da je $N \leqslant (M - 1)^2$.

b) Ako je $M - 1$ prosti broj, dokaži da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $(M - 1)^2$ vrhova.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $|AB| > |AC|$. Neka je $P$ polovište stranice $\overline{BC}$, a $S$ točka u kojoj simetrala kuta $\measuredangle BAC$ sijeće tu stranicu. Paralela s pravcem $AS$ kroz točku $P$ sijeće pravce $AB$ i $AC$ redom u točkama $X$ i $Y$. Neka je $Z$ točka takva da je $Y$ polovište dužine $\overline{XZ}$ te neka se pravci $BY$ i $CZ$ sijeku u točki $D$.

Dokaži da je simetrala kuta $\measuredangle BDC$ paralelna s pravcem $AS$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Neka je $\alpha$ realni broj. Nađi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve $x,y\in \mathbb{R}$ vrijedi: $$f(x + \alpha + f(y)) = f(f(x)) + f(\alpha) + y.$$

Neka je $N \geqslant 3$ neparni prirodni broj. Na početku se u svakom polju tablice $N \times N$ nalazi broj $0$. U pojedinom potezu biraju se dva polja koja imaju zajedničku stranicu i zatim se oba broja u tim poljima povećaju za $1$ ili se oba broja smanje za $1$.

Ako su nakon $K$ poteza zbrojevi brojeva u svakom retku i svakom stupcu tablice međusobno jednaki, dokaži da je $K$ paran broj.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Dokaži da za svaki $x \in \left[\frac{1}{111}, \frac{110}{111}\right]$ možemo odabrati brojeve $a_i \in \{-1, 1\}$, $i = 1, 2, \ldots, 101$ takve da je $$\left|x_{101} - x\right| \leqslant \frac{1}{402},$$ pri čemu je $$x_0 = 1, \quad x_k = (x_{k-1} + 1)^{a_k}, \quad \text{za} \quad k = 1, 2, \ldots, 101.$$

Neka je $N$ prirodni broj. Stepenicama zovemo dio kvadratne ploče dimenzija $N \times N$ koji se sastoji od prvih $K$ polja u $K$-tom retku za $K = 1, 2, \ldots, N$. Na koliko je načina moguće razrezati stepenice na pravokutnike različitih površina koji se sastoje od polja dane ploče?

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Za dani prirodni broj $n$ nađi najmanji prirodni broj $k$ sa sljedećim svojstvom:

Ako su $a_1, a_2, \ldots, a_d$ realni brojevi, $0 \leqslant a_i \leqslant 1$, $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$, tada je moguće rasporediti tih $d$ brojeva u $k$ grupa tako da je zbroj brojeva u svakoj grupi najviše $1$ (neke grupe mogu biti prazne).

Dvadesetoro djece ima $100$ vrpci. Svaku vrpcu drže za krajeve dva djeteta. Dva djeteta mogu zajedno držati samo jednu vrpcu. Pretpostavimo da je par vrpci čija četiri kraja drže različita djeca moguće odabrati na $4050$ načina. Dokaži da svako dijete drži jednak broj vrpci.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.

Odredi najmanji prirodni broj $a$ takav da je vrijednost izraza

$$\frac{n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + a}{n^2 - 1}$$

za $n = 2014$ cijeli broj djeljiv sa $3$.

Na igralištu se nalazi $2014$ sportaša koji na dresovima imaju brojeve od $1$ do $2014$ (svaki broj je na točno jednom dresu). Na početku su svi u stojećem položaju. U određenim vremenskim intervalima trener uzvikuje redom sve prirodne brojeve od $1$ do $2014$. Sportaši kojima je na dresu višekratnik uzviknutoga broja odmah mijenjaju svoj položaj iz stojećeg položaja u čučanj ili obratno.

Koliko je sportaša u čučnju nakon što trener uzvikne broj $2014$?

Dužina $\overline{AB}$ je promjer kružnice sa središtem $O$. Na kružnici je dana točka $C$ takva da je $OC$ okomito na $AB$. Na kraćem luku $\widehat{BC}$ odabrana je točka $P$. Pravci $CP$ i $AB$ sijeku se u točki $Q$, a točka $R$ je sjecište pravca $AP$ i okomice kroz $Q$ na pravac $AB$.

Dokaži da je $|BQ| = |QR|$.

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Andrija i Boris imaju $2014$ karata označenih brojevima od $1$ do $2014$. Andrija ima sve karte s parnim, a Boris sve karte s neparnim brojevima. Andrija je poredao svoje karte ukrug redom, od $2$ do $2014$, u smjeru kazaljke na satu tako da se brojevi na kartama ne vide. Boris zna da su karte poredane tim redom i u tom smjeru, ali ne zna gdje se nalazi karta s brojem $2$. Nakon toga, Boris na svaku Andrijinu stavi po jednu od svojih karata i tako nastane $1007$ parova karata. Za svaki se par usporedi brojeve na kartama i dodijeli jedan bod onom igraču na čijoj je karti veći broj.

Odredi najveći mogući $N$ tako da Boris može biti siguran da će ostvariti barem $N$ bodova.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju sustav

$$\begin{aligned} x + y^2 &= y^3, \\ y + x^2 &= x^3. \end{aligned}$$

Svaki od brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}$ može biti $-1$, $0$ ili $1$. Koja je najmanja moguća vrijednost zbroja svih umnožaka $x_i x_j$ za $1 \leqslant i < j \leqslant 2014$?

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je broj $3^m + 3^n + 1$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $p$ i $q$ dva paralelna pravca. Kružnica $k$ dodiruje pravac $p$ u točki $A$ i siječe pravac $q$ u različitim točkama $B$ i $C$. Neka je $T$ točka na pravcu $p$ i neka dužine $\overline{TB}$ i $\overline{TC}$ sijeku kraći luk $\widehat{AC}$ redom u točkama $K$ i $L$, različitima od $B$ i $C$.

Dokaži da pravac $KL$ prolazi polovištem dužine $\overline{AT}$.

Sto kvadratnih omotnica različitih veličina raspoređeno je tako da se za svake dvije različite omotnice manja omotnica nalazi unutar veće ili su omotnice jedna izvan druge. Pritom se i u manjoj i u većoj omotnici mogu nalaziti i druge omotnice. Dva rasporeda smatramo različitima ako postoje dvije omotnice koje se u jednom rasporedu nalaze jedna unutar druge, a u drugom ne.

Koliko ima različitih rasporeda u kojima se unutar najveće omotnice nalaze sve ostale?

Neka je $ABC$ jednakostranični trokut sa stranicama duljine $1$. Točka $X$ na polupravcu $AB$ i točka $Y$ na polupravcu $AC$ odabrane su tako da su $|AX|$ i $|AY|$ prirodni brojevi. Može li polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ biti $\sqrt{2014}$?

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ nalazi se točka $P$ takva da je

$$\measuredangle APB = \measuredangle CBA + \measuredangle ACB, \quad \measuredangle BPC = \measuredangle ACB + \measuredangle BAC.$$

Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AC| \cdot |BP|}{|BC|} = \frac{|BC| \cdot |AP|}{|AB|}.$$

Postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ za koje su $m^2 + n$ i $n^2 + m$ kvadrati prirodnih brojeva?

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} \geqslant \frac{3a + 2b - c}{4}.$$

Na kružnici duljine $6N$ označeno je $3N$ točaka koje dijele tu kružnicu na ukupno $3N$ lukova: $N$ lukova duljine $1$, $N$ lukova duljine $2$ i $N$ lukova duljine $3$.

Dokaži da među označenim točkama postoje dvije koje su krajnje točke nekog promjera te kružnice.

Za prirodni broj $n$ označimo sa $s(n)$ zbroj njegovih pozitivnih djelitelja, a sa $d(n)$ broj njegovih pozitivnih djelitelja. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da vrijedi

$$s(n) = n + d(n) + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) f(y) = f(x + y) + xy.$$

Dano je $2014$ žetona koji su s jedne strane crne, a s druge bijele boje i ploča dimenzija $2014 \times 1$. Na početku se na svakom polju ploče nalazi po jedan žeton, okrenut na crnu ili na bijelu stranu. U svakom potezu dozvoljeno je ukloniti jedan žeton okrenut na crnu stranu i istovremeno preokrenuti žetone na susjednim poljima (ako nisu već uklonjeni).

Odredi sve početne rasporede žetona za koje je nizom takvih poteza moguće ukloniti sve žetone.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta opsega $1$. Dokaži da vrijedi

$$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut takav da vrijedi

$$\measuredangle BAD = 90^\circ, \quad \measuredangle BAC = 2\measuredangle BDC \quad \text{i} \quad \measuredangle DBA + \measuredangle DCB = 180^\circ.$$

Odredi mjeru kuta $\measuredangle DBA$.