Local Competitions 2017

Odredi najmanji realni broj $C$ takav da je za sve pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, a_3, a_4$ i $a_5$ moguće odabrati međusobno različite indekse $i, j, k, l$ tako da vrijedi

$$\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leqslant C.$$

Dokaži da je moguće svaki prirodni broj obojiti jednom od tri boje tako da sljedeća dva uvjeta budu zadovoljena:

i) Za svaki $n \in \mathbb{N}_0$, svi prirodni brojevi $x$ takvi da je $2^n \leqslant x < 2^{n+1}$ su iste boje.

ii) Ne postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ iste boje (osim $x = y = z = 2$) takvi da vrijedi $x + y = z^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$5m^3 = 27n^4 - 2n^2 + n.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$xf(x) - yf(y) = (x - y)(f(x + y) - xy).$$

U jednoj organizaciji postoje tri odbora. Svaka osoba pripada točno jednom odboru. Za svake dvije osobe koje pripadaju različitim odborima, u preostalom odboru postoji točno $10$ osoba koje te dvije osobe obje poznaju, te točno $10$ osoba koje nijedna od te dvije osobe ne poznaje. Poznanstva su uzajamna. Koliko je ukupno osoba u sva tri odbora zajedno?

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.$$

U nekom arhipelagu nalazi se $2017$ otoka nazvanih $1, 2, \ldots, 2017$. Dvije agencije, Crveni zmaj i Plavo oko, dogovaraju se oko rasporeda brodskih linija između pojedinih otoka. Za svaki par otoka, točno jedna agencija će organizirati brodsku liniju i to samo u smjeru od otoka nazvanog manjim brojem do otoka nazvanog većim brojem.

Raspored brodskih linija je dobar ako ne postoje dva otoka s oznakama $A < B$ takva da je s otoka $A$ na otok $B$ moguće doći koristeći samo brodove Crvenog zmaja, a također i koristeći samo brodove Plavog oka.

Odredi ukupan broj dobrih rasporeda brodskih linija.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{3}{2} < \frac{4a + b}{a + 4b} + \frac{4b + c}{b + 4c} + \frac{4c + a}{c + 4a} < 9.$$

Ludi lovac je figura koja može biti okrenuta prema jednom od četiri dijagonalno susjedna polja i napada sva polja ravno ispred sebe te ravno lijevo i desno od sebe (poput šahovskog lovca koji ne vidi iza sebe). Za dva polja igraće ploče kažemo da su dijagonalno susjedna ako imaju točno jedan zajednički vrh.

Odredi najveći prirodni broj $N$ za koji je na igraću ploču $8 \times 8$ moguće postaviti $N$ ludih lovaca tako da nijedan od njih ne napada nekog od ostalih.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi različite parnosti. Dokaži da postoji cijeli broj $c$ takav da su brojevi $ab + c$, $a + c$ i $b + c$ kvadrati cijelih brojeva.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{x}{y + z + w} + \frac{y}{z + w + x} + \frac{z}{w + x + y} + \frac{w}{x + y + z} = 1,$$

odredi

$$\frac{x^2}{y + z + w} + \frac{y^2}{z + w + x} + \frac{z^2}{w + x + y} + \frac{w^2}{x + y + z}.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AC$, a točka $C'$ je osnosimetrična slika točke $C$ s obzirom na pravac $AB$. Kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku se u točkama $A$ i $P$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ABC$ leži na pravcu $AP$.

Polja ploče dimenzija $N \times N$ obojana su u crno i bijelo tako da su polja koja imaju zajedničku stranicu različite boje i tako da je barem jedno polje u kutu ploče crne boje. U pojedinom koraku odabire se kvadrat dimenzija $2 \times 2$ i sva četiri polja unutar tog kvadrata mijenjaju boju tako da bijela polja postaju crna, crna postaju siva, a siva postaju bijela.

Odredi sve prirodne brojeve $N > 1$ za koje je konačnim nizom opisanih koraka moguće postići da sva polja koja su na početku bila crna budu bijela i da sva polja koja su na početku bila bijela budu crna.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ realni brojevi takvi da vrijedi

$$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + x + 3y + 5z + 7w = 4,$$

odredi najveću moguću vrijednost izraza $x + y + z + w$.

Unutar trokuta $ABC$ nalaze se točke $S$ i $T$. Udaljenosti točke $S$ od pravaca $AB$, $BC$ i $CA$ su redom 10, 7 i 4. Udaljenosti točke $T$ od tih pravaca su redom 4, 10 i 16.

Odredi polumjer trokutu $ABC$ upisane kružnice.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $a > b$ i

$$a - b = 5b^2 - 4a^2.$$

Dokaži da je $a - b$ kvadrat prirodnog broja.

Dan je trokut $ABC$. Kružnica $k$ izvana dodiruje stranicu $\overline{BC}$ u točki $K$ te produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ preko točaka $B$ i $C$ redom u točkama $L$ i $M$. Kružnica $s$ promjerom $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{LM}$ u točkama $P$ i $Q$ tako da točka $P$ leži između $L$ i $Q$.

Dokaži da se pravci $BP$ i $CQ$ sijeku u središtu kružnice $k$.

U jednom gradu je $M$ ulica i $N$ trgova, pri čemu su $M$ i $N$ prirodni brojevi takvi da je $M > N$. Svaka ulica povezuje dva trga i ne prolazi kroz druge trgove.

Gradani žele promijeniti izgled grada. Ove godine svaka će ulica biti po prvi put obojena crveno ili plavo. Dogovoreno je da se svake godine odabere jedan trg, te svim ulicama koje vode do tog trga istovremeno promijeni boja iz plave u crvenu i obratno.

Dokaži da građani mogu odabrati boje ulica tako da se nikad u budućnosti ne može dogoditi da sve ulice budu iste boje.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$$

za neke realne brojeve $x$, $y$ i $z$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi različite parnosti. Dokaži da broj $(a + 3b)(5a + 7b)$ nije kvadrat prirodnog broja.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi

$$P(x^2) + 2P(x) = (P(x))^2 + 2.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ te ortocentrom $H$. Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{AD}$ sijeku se u točki $G$. Dužina $\overline{AK}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $M$. Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Neka je $C$ prirodni broj manji od 2017. Točno $C$ vrhova pravilnog 2017-erokuta je crveno, a svi ostali vrhovi su plavi. Dokaži da broj jednakokračnih trokuta čija su sva tri vrha iste boje ne ovisi o rasporedu crvenih i plavih vrhova.

Neka su $c$ i $d$ pozitivni djelitelji prirodnog broja $n$. Ako je $c > d$, dokaži da je $c > d + \dfrac{d^2}{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x + f(y)) = f(f(y)) + 2x f(y) + x^2.$$

Za točku $P$ unutar trokuta $ABC$ kažemo da je sjajna ako se iz nje može povući točno 27 polupravaca koji sijeku stranice trokuta $ABC$ tako da je njima trokut podijeljen na 27 manjih trokuta jednakih površina. Odredi broj svih sjajnih točaka trokuta $ABC$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AB| > |AC|$. Neka je $O$ središte kružnice opisane tom trokutu, a $\overline{OQ}$ promjer kružnice opisane trokutu $BOC$. Pravac paralelan s pravcem $BC$ kroz $A$ siječe pravac $CQ$ u točki $M$, a pravac paralelan s pravcem $CQ$ kroz $A$ siječe pravac $BC$ u točki $N$. Neka je $T$ presjek pravaca $AQ$ i $MN$.

Dokaži da točka $T$ leži na kružnici opisanoj trokutu $BOC$.

Na nekim poljima ploče dimenzija $2017 \times 2017$ nalazi se po jedna bubamara; ostala polja su prazna. Bubamara se pomiču po ploči, nikad ju ne napuštajući, prema sljedećim pravilima. Svaka bubamara se svake sekunde pomakne na susjedno polje. Pomaci su horizontalni (na polje lijevo ili desno od onog na kojem se bubamara nalazi) ili vertikalni (na polje iznad ili ispod onog na kojem se bubamara nalazi). Bubamara koja napravi horizontalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti vertikalni pomak, a bubamara koja napravi vertikalni pomak u sljedećoj sekundi mora napraviti horizontalni pomak.

Odredi najmanji broj bubamara tako da, neovisno o njihovom početnom rasporedu i neovisno o njihovim pomacima možemo biti sigurni da će se u nekom trenutku dvije bubamare naći na istom polju.

Izračunaj zbroj $$\frac{1}{2\sqrt{1} + 1\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}.$$

Gargamel je uhvatio $N$ Štrumpfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumpfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumpfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumpfova u prvoj vreći se smanjila za $8$ milimetara, a prosječne visine Štrumpfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za $5$ milimetara i $8$ milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumpfova, odredi $N$.

Odredi sve troznamenkaste prirodne brojeve $n$ za koje brojevi $n$ i $n^2$ imaju jednake zadnje tri znamenke.

Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $\measuredangle BMA = \measuredangle NMC = 60°$. Odredi kut $\measuredangle MAN$.

Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija $9 \times 9$ na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija $1$. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj $k \in \{1, \ldots, 9\}$ i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija $1 \times k$ i $k \times 1$. Lovro će odabrati $k$ tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića.

Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.

Neka je $p$ prost broj. Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$p(a - 2) = a(b - 1).$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je omjer imaginarnog dijela pete potencije broja $z$ i pete potencije imaginarnog dijela broja $z$ najmanji mogući.

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ pozitivnih realnih brojeva koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} 3\lfloor x \rfloor - \{y\} + \{z\} &= 20.3 \\ 3\lfloor y \rfloor + 5\lfloor z \rfloor - \{x\} &= 15.1 \\ \{y\} + \{z\} &= 0.9. \end{aligned}$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$, a $\{t\}$ njegov decimalni dio, tj. $\{t\} = t - \lfloor t \rfloor$. Npr. ako je $t = 15.1$, onda je $\lfloor t \rfloor = 15$ i $\{t\} = 0.1$.

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AC| > |AB|$, a točka $O$ je središte opisane kružnice. Simetrala kuta $\measuredangle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pravac okomit na pravac $AD$ koji prolazi kroz točku $B$ siječe pravac $AO$ u točki $E$.

Dokaži da točke $A$, $B$, $D$ i $E$ leže na istoj kružnici.

Koliko najviše elemenata može imati podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,2017\}$ tako da za svaka dva elementa $a$ i $b$ tog podskupa broj $a + b$ nije djeljiv brojem $a - b$?

U trokutu $ABC$ simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Neka su $a$ i $b$ redom duljine stranica $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$, redom. Ako vrijedi $|CD| = \dfrac{ab}{a + b}$, odredi $\measuredangle ACB$.

Postoji li prirodni broj $m$ takav da $7$ dijeli $2^{m^2} - 4$?

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine $3$, a svi ostali duljine $2$. Odredi obujam tog tetraedra.