Croatian Competitions 2012

Dani su pozitivni realni brojevi $x$, $y$ i $z$ takvi da je $x + y + z = 18xyz$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 2yz + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2 + 2xz + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2 + 2xy + 1}} \geqslant 1.$$

Svakom vrhu pravilnog mnogokuta pridružen je jedan od brojeva $0$ ili $1$. Koristeći dijagonale koje se međusobno ne sijeku osim u vrhovima, Rudi dijeli mnogokut na trokute, a zatim u svaki trokut upisuje zbroj brojeva pridruženih njegovim vrhovima. Dokaži da Rudi može odabrati dijagonale kojima će podijeliti mnogokut tako da se najveći i najmanji od brojeva upisanih u dobivene trokute razlikuju za najviše $1$.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da je $|AD| = |BD|$ i neka je $M$ sjecište njegovih dijagonala. Nadalje, neka je $N$ drugo sjecište dijagonale $\overline{AC}$ s kružnicom koja prolazi točkama $B$, $M$ i središtem kružnice upisane trokutu $BCM$.

Dokaži da vrijedi $|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|$.

Postoje li cijeli brojevi $a$ i $b$ takvi da su oba broja $a + b$ i $a \cdot b - 1$ potpuni kvadrati?

Zadan je niz realnih brojeva: $$x_0 = 1,$$ $$x_1 = 1,$$ $$x_n = \sqrt{\frac{n}{2} + x_{n-1}x_{n-2}}, \quad \text{za } n \geqslant 2.$$

Postoji li realni broj $A$ takav da je $An < x_n < An + 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$?

U državi postoji $g$ gradova i $c$ cesta, pri čemu svaka cesta povezuje točno dva različita grada, a između dva grada postoji najviše jedna cesta. Ceste su označene brojevima $1, 2, \ldots, c$. Tonći svoje putovanje mora proći tako da kad zapiše oznake cesta redom kojim ih je prolazio dobije (strogo) rastući niz brojeva. Dokaži da postoji grad takav da krenuvši iz toga grada Tonći može proći barem $\dfrac{2c}{g}$ cesta.

Neka su točke $M$ i $N$ redom dirališta upisane kružnice raznostraničnog trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$, a točke $P$ i $Q$ redom dirališta pripisanih kružnica nasuprot vrhova $B$ i $C$ s pravcem $BC$. Dokaži da je četverokut $MNPQ$ tetivan ako i samo ako je trokut $ABC$ pravokutan s pravim kutom pri vrhu $A$.

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2 + f(y)) = (f(x) + y^2)^2.$$

Uz obalu nekog otoka nalazi se $20$ sela. U svakom selu živi $20$ boraca. Svaki od boraca bori se sa svim borcima iz ostalih sela. Svaka dva borca imaju različitu snagu i borac koji je snažniji pobjeduje u borbi. Kažemo da je selo $A$ nadvladalo selo $B$ ako je u barem $k$ borbi između boraca iz $A$ i boraca iz $B$ pobijedio borac iz $A$. Nakon svih borbi ustanovljeno je da je svako selo nadvladalo selo koje mu je neposredni susjed u smjeru kazaljke na satu.

Dokaži da najveći mogući $k$ iznosi $290$.

Trapez $ABCD$ s duljom osnovicom $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu $k$. Neka su $A_0$, $B_0$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$ na $AB$, a $G$ težište trokuta $ABC$. Kružnica $k_1$ prolazi točkama $A_0$ i $B_0$ te dodiruje kružnicu $k$ u točki $X$, različitoj od $C$. Dokaži da su točke $D$, $G$, $N$ i $X$ kolinearne.

Za dani prirodni broj $k$ neka je $S(k)$ zbroj svih brojeva iz skupa $\{1,2,\ldots,k\}$ koji su relativno prosti s $k$. Neka je $m$ prirodni i $n$ neparni prirodni broj. Dokaži da postoje prirodni brojevi $x$ i $y$, pri čemu $m$ dijeli $x$, takvi da vrijedi $2S(x) = y^n$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(y + f(x)) - f(x + f(y)) = f(x - y)(f(x + y) - 1).$$

Neka je $A$ sedmeročlani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,26\}$. Dokaži da postoje dva različita neprazna podskupa od $A$ takva da su zbrojevi njihovih elemenata jednaki.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{1}{3}(a + b + c)^2 \leqslant a^2 + b^2 + c^2 + 2(a - b + 1).$$

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\measuredangle BGE$ pravi.

Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF| = |CF|$.

Azra je zamislila četiri realna broja i na ploču zapisala zbrojeve svih mogućih parova zamišljenih brojeva, a zatim obrisala jedan od tih zbrojeva. Na ploči su ostali brojevi $-2$, $1$, $2$, $3$ i $6$. Koje je brojeve Azra zamislila?

Neka je $x$ realan broj takav da su $x^2 - x$ i $x^4 - x$ cijeli brojevi. Dokaži da je $x$ cijeli broj.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$4x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 9 = 0,$$ gdje je s $\lfloor x \rfloor$ označen najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ($|AB| = |AC|$) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Ako je $\measuredangle DBC = 30°$, dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c \leqslant 3$ vrijedi $$\frac{a + 1}{a(a + 2)} + \frac{b + 1}{b(b + 2)} + \frac{c + 1}{c(c + 2)} \geqslant 2.$$

Može li skakač običi ploču dimenzija $4 \times 2012$ i vratiti se na polazno polje tako da pritom stane na svako polje točno jednom?

Skakač je figura koja se kreće kao u šahu: s polja označenog kružićem može se pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči).

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n \geqslant 2$ takav da je funkcija $$f(x) = \cos(x\sqrt{1}) + \cos(x\sqrt{2}) + \cdots + \cos(x\sqrt{n})$$ periodična.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ i $E$ točka na dužini $\overline{BD}$ tako da vrijedi $\measuredangle ABC = \measuredangle DAE = \measuredangle AED$. Dokaži da je $|BE| = 2|CD|$.

Za dani prosti broj $p$ odredi sve cijele brojeve $n$ takve da je $\sqrt{n^2 + pn}$ cijeli broj.

Duljine stranica četverokuta su cjelobrojne, a svaka od njih je djelitelj zbroja preostalih triju duljina. Dokaži da su bar dvije stranice tog četverokuta sukladne.

Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve $a$ i $b$ koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve $3a - b$ i $13a - 3b$.

Ako su na početku na ploči brojevi $1, 2, 3, 4, \ldots, 2011, 2012$, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi $2, 4, 6, 8, \ldots, 4022, 4024$?

a) Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi. Dokaži da je broj $x^n + y^n$ cijeli za svaki prirodni broj $n$.

b) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi.

c) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^3 + y^3$ cijeli, ali $x^4 + y^4$ nije cijeli broj.

Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_n + 1, \quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2} p_n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$. Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$, dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$.

Neka su $n$ i $d$ prirodni brojevi takvi da $d$ dijeli $2n^2$. Dokaži da broj $n^2 + d$ nije potpun kvadrat.

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.