Croatian Competitions 2013

Za prirodni broj $n \geqslant 2$, neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi različiti od nule takvi da je $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$. Dokaži da postoje različiti prirodni brojevi $i$ i $j$ ($i, j \leqslant n$) takvi da je

$$\frac{1}{2} \leqslant \left| \frac{x_i}{x_j} \right| \leqslant 2.$$

Na kružnicu stavljamo crvene i plave kuglice. Na početku se na kružnici nalaze samo dvije crvene kuglice. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

i) dodati jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica (crvenu u plavu i obratno);

ii) maknuti jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica.

Možemo li nizom takvih poteza postići da na kružnici bude

a) $2013$ crvenih i $2013$ plavih kuglica;

b) samo dvije plave kuglice?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Neka je $D$ točka takva da je četverokut $AHCD$ paralelogram. Neka je $p$ okomica na pravac $AB$ kroz polovište $A_1$ stranice $\overline{BC}$. Označimo sjecište pravaca $p$ i $AB$ s $E$, a polovište dužine $\overline{A_1E}$ s $F$. Točku u kojoj paralela s pravcem $BD$ kroz točku $A$ siječe $p$ označimo s $G$. Dokaži da je četverokut $AFA_1C$ tetivan ako i samo ako pravac $BF$ prolazi polovištem dužine $\overline{CG}$.

Nađi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da

$$(a^2 + b) \mid (a^2b + a) \quad \text{i} \quad (b^2 - a) \mid (ab^2 + b).$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $f(1) \geqslant 0$ i da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) - f(y) \geqslant (x - y)f(x - y).$$

Neka su $m$, $n$ i $k$ prirodni brojevi i neka su $p_1, p_2, \ldots, p_n$ brojevi $1, 2, \ldots, n$ u nekom poretku. Ako za svaki $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ vrijedi

$$k \mid (m + p_i - i),$$

dokaži da je barem jedan od brojeva $m$ i $n$ višekratnik broja $k$.

U trokutu $ABC$ kut pri vrhu $B$ iznosi $120°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ redom točke na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, takve da su $AA_1, BB_1, CC_1$ simetrale kutova trokuta $ABC$. Odredi kut $\measuredangle A_1B_1C_1$.

Za skup $A \subseteq \mathbb{Z}$ kažemo da je prihvatljiv ako za svaka dva (ne nužno različita) broja $x, y \in A$ i za svaki $k \in \mathbb{Z}$ vrijedi $x^2 + kxy + y^2 \in A$.

Nađi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva različitih od nule za koje je $\mathbb{Z}$ jedini prihvatljivi skup koji sadrži $m$ i $n$.

($\mathbb{Z}$ je skup svih cijelih brojeva.)

U ovisnosti o prirodnom broju $k$, odredi najmanji realni broj $D_k$ takav da je

$$(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 \leqslant D_k$$

za sve nenegativne realne brojeve $a, b, c, d$ za koje je $a^k + b^k + c^k + d^k = 4$.

Dani su prirodni brojevi $N$ i $K$. Neki broj učenika je raspoređen u $N$ nepraznih grupa, a zatim su ti isti učenici preraspoređeni u $N + K$ nepraznih grupa. Dokaži da se u drugom rasporedu barem $K + 1$ učenika našlo u manjoj grupi od one u kojoj su bili u prvom rasporedu.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $P$ na stranici $\overline{AC}$ i točka $Q$ na stranici $\overline{BC}$ odabrane su tako da je $|AP| + |BQ| = |PQ|$. Paralela s pravcem $BC$ kroz polovište dužine $\overline{PQ}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $N$. Kružnica opisana trokutu $PNQ$ siječe pravac $AC$ u točkama $P$ i $K$, a pravac $BC$ u točkama $Q$ i $L$. Ako je točka $R$ sjecište pravaca $PL$ i $QK$, dokaži da je pravac $PQ$ okomit na pravac $CR$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Neka su $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$.

Dokaži nejednakost:

$$\frac{a_1^3}{a_1^2 + a_2 a_3} + \frac{a_2^3}{a_2^2 + a_3 a_4} + \cdots + \frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2 + a_n a_1} + \frac{a_n^3}{a_n^2 + a_1 a_2} \geqslant \frac{1}{2}.$$

Grupa ljudi različitih visina pleše mađarski narodni ples na otvaranju natjecanja MEMO 2013 u Veszprému. Kažemo da je čovjek prosječan ako je viši od jednog svog susjeda i niži od drugog. (Ljudi su raspoređeni u krug i svaki čovjek ima točno dva susjeda.)

Ako je ukupan broj ljudi $N$, odredi sve moguće vrijednosti broja prosječnih ljudi.

Točka $N$ je nožište visine na hipotenuzu $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$. Simetrale kutova $\measuredangle NCA$ i $\measuredangle BCN$ sijeku dužinu $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $L$. Ako su $S$ i $T$ redom središta kružnica upisanih trokutima $BCN$ i $NCA$, dokaži da je četverokut $KLST$ tetivan.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2} \\ y^{2} - z &= x^{2} \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $k$ i $n$ takvi da vrijedi

$$k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1).$$

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi

$$\left(1 + \frac{c}{a}\right) \left(1 + \frac{c}{b}\right) \geqslant 3 + 2\sqrt{2}.$$

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Brojevi $1, 2, \ldots, 10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove.

Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$.

Neka je $a$ kompleksni broj takav da vrijedi

$$a^5 + a + 1 = 0.$$

Koje vrijednosti može poprimiti izraz $a^2 (a - 1)$?

Ako za realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right) = 1,$$

dokaži da je $x + y = 0$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednakost

$$y^2 = x^3 + 3x^2 + 2x.$$

Dan je trapez $ABCD$ kojem su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti, a dijagonale su mu međusobno okomite i sijeku se u točki $O$. Polupravac $OA$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{BD}$ u točki $M$, a polupravac $OB$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{AC}$ u točki $N$.

Dokaži da točke $M$, $N$, $C$ i $D$ leže na jednoj kružnici.

Dana je tablica $6 \times 6$.

a) Ako je označeno bilo kojih $9$ polja tablice, dokaži da je moguće odabrati tri retka i tri stupca koji sadrže sva označena polja.

b) Označi $10$ polja tablice tako da koja god tri retka i tri stupca odaberemo, uvijek postoji bar jedno označeno polje koje nije u odabranim stupcima niti recima.

Odredi nenegativni realni broj $a$ tako da vrijednost izraza

$$a^3 - a^2 - 2\sqrt{a}$$

bude najmanja moguća.

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje postoje prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da vrijedi

$$\left\{ \begin{aligned} p + 1 &= 2x^2 \\ p^2 + 1 &= 2y^2. \end{aligned} \right.$$

Dokaži da je među bilo koja četiri broja iz intervala $\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle$ moguće odabrati dva broja, nazovimo ih $x$ i $y$, tako da vrijedi

$$8 \cos x \cos y \cos (x - y) + 1 > 4 \left(\cos^2 x + \cos^2 y\right).$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ sijeće kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.

Dokaži da vrijedi $|DE| = |DF| = |AB|$.

Na natjecanju je sudjelovalo $n$ učenika i svaki učenik je riješio točno tri zadatka. Za svaka dva učenika postoji točno jedan zadatak koji su obojica riješila, a svaki zadatak je riješilo točno $k$ učenika. Za koje vrijednosti prirodnih brojeva $n$ i $k$ je to moguće?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak svih pozitivnih djelitelja broja $n$ jednak $n^3$. Prikaži ih u kanonskom obliku, tj. pomoću rastava na proste faktore.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_1 = 2$, $a_n = 2(n + a_{n-1})$ za $n \geqslant 2$.

Dokaži da je $a_n < 2^{n+2}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi. Poznato je da parabola $y = ax^2 + b$ siječe krivulju $y = x + \dfrac{1}{x}$ u točno tri točke. Dokaži da vrijedi $3ab < 1$.

Neka su $k_1$ i $k_2$ kružnice s promjerima $\overline{AP}$ i $\overline{AQ}$. Neka je $T$ drugo sjecište kružnica $k_1$ i $k_2$. Neka je $Q'$ drugo sjecište kružnice $k_1$ i pravca $AQ$, a $P'$ drugo sjecište kružnice $k_2$ i pravca $AP$. Kružnica $k_3$ prolazi točkama $T$, $P$ i $P'$, a kružnica $k_4$ točkama $T$, $Q$ i $Q'$.

Dokaži da pravac na kojem leži zajednička tetiva kružnica $k_3$ i $k_4$ prolazi točkom $A$.

Dokaži da bilo koji $2001$-člani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ sadrži tri elementa od kojih su svaka dva međusobno relativno prosta.