Croatian Competitions 2019

Direktori dviju tvrtki nalaze se u točkama udaljenim $1000$ kilometara. U $n$ točaka na dužini između njih nalazi se po jedan matematičar. Svake sekunde u istom trenutku, svi matematičari se premještaju – svaki ide na polovište dužine koja spaja njega i njemu najbližu osobu (matematičara ili direktora). Ako takva osoba nije jedinstvena, po volji bira jednu od njih. Ako na taj način dva matematičara dođu u istu točku, mlađi od njih zauvijek odlazi.

Dokaži da će se, nakon konačno mnogo sekundi, svaki od preostalih matematičara moći rukovati s jednim od direktora. Matematičar se može rukovati s direktorom ako je od njega udaljen za najviše $1$ metar.

Kriptogramom prirodnog broja $n$ zovemo uređenu $n$-torku $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva iz $\mathbb{N}_0$ takvu da vrijedi $$a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = n.$$

Neka je $\mathcal{K}_n$ skup svih kriptograma broja $n$. Za $a \in \mathcal{K}_n$ označimo sa $J(a)$ broj pojavljivanja broja $1$ u kriptogramu $a$. Dokaži da vrijedi $$\sum_{a \in \mathcal{K}_n} J(a) = \sum_{a \in \mathcal{K}_{n+1}} a_2.$$

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ te neka je $P$ točka različita od $A$ takva da je $PA \parallel BC$. Točke $X$ i $Y$ nalaze se redom na polupravcima $PB$ i $PC$, tako da je točka $B$ između $P$ i $X$, točka $C$ između $P$ i $Y$ te vrijedi $\measuredangle PXM = \measuredangle PYM$. Dokaži da su točke $A$, $P$, $X$ i $Y$ konciklične.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\frac{n^{3n-2} - 3n + 1}{3n - 2}$$ cijeli broj.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi $$\frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{a}}{b + c} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{b}}{c + a} + \frac{\sqrt{a + b + c} + \sqrt{c}}{a + b} \geq \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{a + b + c}}.$$

Prerez konačnog skupa točaka u ravnini je podjela tog skupa na disjunktne podskupove $A$ i $B$, za koju postoji pravac koji ne prolazi niti jednom točkom promatranog skupa, takav da su sve točke skupa $A$ s jedne strane, a sve točke skupa $B$ s druge strane tog pravca. Odredi najveći mogući broj prereza skupa od $n$ točaka u ravnini.

Na stranici $\overline{AB}$ tetivnog četverokuta $ABCD$ postoji točka $X$ sa svojstvom da dijagonala $\overline{BD}$ raspolavlja dužinu $\overline{CX}$, a dijagonala $\overline{AC}$ raspolavlja dužinu $\overline{DX}$.

Koliki je najmanji mogući omjer $|AB| : |CD|$ u takvom četverokutu?

Neka je $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ multiplikativna funkcija takva da je $f(4) = 4$ i vrijedi $$f(m^2 + n^2) = f(m^2) + f(n^2) \quad \text{za sve } m, n \in \mathbb{N}.$$

Dokaži da je $f(m^2) = m^2$ za sve $m \in \mathbb{N}$.

Za funkciju $f$ kažemo da je multiplikativna ako za svaki izbor relativno prostih prirodnih brojeva $m$ i $n$ vrijedi $f(mn) = f(m)f(n)$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ takve da vrijedi $$\left(x + \frac{1}{x}\right) f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}^+.$$

($\mathbb{R}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih realnih brojeva.)

Na ploči su zapisana dva prirodna broja. Dva igrača igraju igru naizmjence odigravajući poteze kojima mijenjaju brojeve na ploči.

Ako su na ploči u nekom trenutku brojevi $A$ i $B$ ($A \geq B$), igrač koji je na potezu odabire prirodni broj $k$ takav da je $A - kB \geq 0$, briše broj $A$ te umjesto njega zapisuje broj $A - kB$. Pobjeduje igrač koji na ploču napiše broj $0$.

Za koje sve vrijednosti omjera početna dva broja na ploči prvi igrač može pobijediti neovisno o igri drugog igrača?

Neka je $T$ točka unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke osnosimetrične točki $T$ u odnosu na pravce $BC$, $CA$ i $AB$, redom. Pravci $A_1T$, $B_1T$ i $C_1T$ sijeku kružnicu $k$ opisanu trokutu $A_1B_1C_1$ ponovno u točkama $A_2$, $B_2$ i $C_2$, redom.

Dokaži da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ sijeku u jednoj točki koja leži na kružnici $k$.

Dani su prirodan broj $m$ i prost broj $p$ takvi da je $p > m$. Dokaži da broj prirodnih brojeva $n$ za koje je $$m^2 + n^2 + p^2 - 2mn - 2mp - 2np$$ kvadrat nekog prirodnog broja ne ovisi o broju $p$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ takve da vrijedi $$f(x^2 (f(y))^2) = (f(x))^2 f(y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{Q}^+.$$

($\mathbb{Q}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih racionalnih brojeva.)

Je li moguće ploču dimenzija $1000 \times 1000$ prekriti koristeći isključivo likove prikazane na slikama:

postavljene upravo na taj način? Likove nije dozvoljeno rotirati niti zrcaliti. Trebaju biti postavljeni tako da prekrivaju točno tri odnosno pet polja ploče i ne smiju se preklapati.

Dirališta upisane kružnice trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su redom točke $D$ i $E$. Dirališta pripisane kružnice nasuprot vrha $A$ s pravcima $AB$ i $AC$ su redom točke $F$ i $G$.

Neka simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $DE$ u točkama $X$ i $Y$ redom te neka vanjske simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $FG$ u točkama $Z$ i $W$ redom.

Dokaži da je četverokut $XYZW$ tetivan.

Odredi sve brojeve $k \in \mathbb{N}$ takve da $$\frac{m + n}{m^2 - kmn + n^2}$$ nije složen prirodni broj ni za koji izbor $m, n \in \mathbb{N}$.

Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom. U trenutku kad prednji kraj vlaka dođe do njih, Ana krene stalnom brzinom u smjeru kretanja vlaka, a Vanja istom brzinom u suprotnom smjeru. Svaka od njih se zaustavlja u trenutku kad stražnji kraj vlaka prođe kraj nje. Ana je ukupno prošla 45 metara, a Vanja 30 metara. Koliko je dugačak vlak?

U pravokutnom trokutu duljine svih stranica su prirodni brojevi, a polumjer upisane kružnice iznosi 4. Odredi sve moguće vrijednosti duljina kateta tog trokuta.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{1 + 9a^2}{1 + 2a + 2b^2 + 2c^2} + \frac{1 + 9b^2}{1 + 2b + 2c^2 + 2a^2} + \frac{1 + 9c^2}{1 + 2c + 2a^2 + 2b^2} < 4.$$

Neka je $k > 1$ prirodan broj. Dano je $k + 2$ međusobno različitih prirodnih brojeva manjih od $3k + 1$. Dokaži da među njima postoje dva čija je razlika veća od $k$ i manja od $2k$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$ i $\measuredangle BAC < 60°$. Neka je točka $D$ na dužini $\overline{AC}$ takva da je $\measuredangle DBC = \measuredangle BAC$, neka je $E$ sjecište simetrale dužine $\overline{BD}$ i paralele s $BC$ kroz točku $A$ te neka je $F$ točka na pravcu $AC$ takva da se $A$ nalazi između $C$ i $F$ i vrijedi $|AF| = 2|AC|$.

(a) Dokaži da su pravci $BE$ i $AC$ paralelni.

(b) Dokaži da se okomica iz $F$ na $AB$ i okomica iz $E$ na $AC$ sijeku na pravcu $BD$.

U (b) dijelu zadatka dozvoljeno je korištenje tvrdnje iz (a) čak i ako nije dokazana.

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)$$

realni.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x + 2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}.$$

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $t$.
Na primjer, ako je $t = 3.14$, onda je $\lfloor t \rfloor = 3$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $3|BC| = |AB| + |CA|$. Neka je $T$ točka na stranici $\overline{AC}$ takva da je $4|AT| = |AC|$ i neka su $K$ i $L$ točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$ redom, takve da je $KL \parallel BC$ i da je pravac $KL$ tangenta upisane kružnice trokuta $ABC$.

U kojem omjeru dužina $\overline{BT}$ dijeli dužinu $\overline{KL}$?

Odredi sve parove $(m,n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $m^2 = n^5 + n^4 + 1$, a broj $m - 7n$ dijeli $m - 4n$.

Ukrug je napisano 299 nula i jedna jedinica. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

• svakom broju istovremeno oduzeti njemu oba susjedna broja;
• odabrati dva broja između kojih se nalaze točno dva broja te ih oba uvećati ili oba umanjiti za 1.

Može li se konačnim nizom dozvoljenih poteza postići da ukrug budu napisane

(a) dvije uzastopne jedinice i 298 nula?

(b) tri uzastopne jedinice i 297 nula?

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AC| = 5$. Označimo $\alpha = \measuredangle BAC$. Izračunaj

$$\sin^6 \frac{\alpha}{2} + \cos^6 \frac{\alpha}{2}.$$

Četvorku prirodnih brojeva $(a, b, c, d)$ zovemo zelenom ako vrijedi

$$b = a^2 + 1, \quad c = b^2 + 1, \quad d = c^2 + 1$$

i $D(a) + D(b) + D(c) + D(d)$ je neparan, pri čemu je $D(k)$ broj pozitivnih djelitelja prirodnog broja $k$.

Koliko ima zelenih četvorki čiji su svi članovi manji od 1 000 000?

Na ploču dimenzija $20 \times 19$ postavljene su pločice dimenzija $3 \times 1$ tako da prekrivaju točno tri polja ploče, a međusobno se ne preklapaju i ne dodiruju, čak ni u vrhovima.

Odredi najveći mogući broj pločica $3 \times 1$ na toj ploči.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2a - 1} + \frac{b^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2b - 1} + \frac{c^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2c - 1} \leq 3.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ takav da je $|BC| < |CA| < |AB|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ redom nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$. Pravac točkom $F$ paralelan s $DE$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a simetrala kuta $\measuredangle MFE$ siječe pravac $DE$ u točki $N$.

Dokaži da je točka $F$ središte kružnice opisane trokutu $DMN$ ako i samo ako je točka $B$ središte kružnice opisane trokutu $FMN$.

Odredi sve kompleksne brojeve $a$ za koje su svi koeficijenti polinoma

$$P(x) = (x - a)(x - a^2)(x - a^3)(x - a^4)$$

realni.

Rudi i Miljen igraju igru na školskoj ploči naizmjence odigravajući poteze. Igrač koji je na potezu bira dva relativno prosta broja napisana na ploči, briše ih te zapisuje na ploču njihov zbroj. Gubi igrač koji to ne može napraviti. Igru započinje Rudi. Dokaži da Miljen ima pobjedničku strategiju ako je na početku na ploči bilo napisano

(a) 2019 jedinica;

(b) 2020 jedinica.

Neka je $C$ realni broj, $(a_n)$ niz realnih brojeva i neka je, za svaki prirodni broj $n$,

$$M_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$$

Ako za svaka tri međusobno različita prirodna broja $i$, $j$, $k$ vrijedi

$$(i - j)M_k + (j - k)M_i + (k - i)M_j = C,$$

dokaži da je niz $(a_n)$ aritmetički.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta visina trokuta $ABC$ iz vrhova $A$, $B$ i $C$, redom. Pravci $EF$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. Paralela s $EF$ kroz točku $D$ siječe pravac $AC$ u točki $Q$ i pravac $AB$ u točki $R$. Ako je $N$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle NQP + \measuredangle NRP < 180°$, dokaži da je $|BN| > |CN|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ koje zadovoljavaju sljedeća dva uvjeta.

• Za sve $a, b \in \mathbb{N}$ vrijedi

$$f(a, b) + a + b = f(a, 1) + f(1, b) + ab.$$

• Ako su $a, b \in \mathbb{N}$ takvi da je neki od brojeva $a + b$ i $a + b - 1$ djeljiv prostim brojem $p > 2$, onda je i $f(a, b)$ djeljiv s $p$.

Na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $P_1$, $P_2$ i $P_3$ tako da vrijedi

$$|AP_1| = |P_1P_2| = |P_2P_3| = |P_3B| = \frac{1}{4}|AB|.$$

Tim točkama povučene su paralele sa stranicom $\overline{BC}$, koje dijele trokut na četiri dijela. Površina dijela koji se nalazi između paralela kroz $P_2$ i $P_3$ iznosi $5$.

Kolika je površina trokuta $ABC$?

Dokaži da ne postoje pozitivni realni brojevi $x$ i $y$ za koje vrijedi

$$(x^3 + y^3)(x^2 + y^2) = 2(x + y) = 2.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n > 2$ za koje postoji djelitelj $d$ broja $n$ takav da je

$$n = a^3 + d^3,$$

pri čemu je $a$ najmanji djelitelj broja $n$ veći od $1$.

Osnovica $\overline{BC}$ je najdulja stranica jednakokračnog trokuta $ABC$. Neka je $M$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $|BM| = |AB|$. Nožište okomice iz točke $M$ na $\overline{AB}$ je točka $N$. Dokaži da trokut $BMN$ i četverokut $ACMN$ imaju jednake površine i jednake opsege.

Na stolu su $42$ kamenčića. Dva igrača naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu igrač treba uzeti najmanje jedan kamenčić, ali ne više od polovine preostalih kamenčića. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza na stolu ostane samo jedan kamenčić.

Koji igrač sigurno može pobijediti?

Odredi vrijednost realnog parametra $p$ tako da rješenja jednadžbe

$$(p - 3)x^2 + (p^2 + 1)x - 11p + 18 = 0$$

budu duljine kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine $\sqrt{17}$.

Odredi sve parove $(a, n)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi

$$3a^2 + 2^n = a^4.$$

Dokaži da za nenegativne realne brojeve $a$ i $b$ takve da je $a + b \leq 2$ vrijedi

$$\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \leq \frac{2}{1 + ab}.$$

Kada se postiže jednakost?

Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AB}$ duljine $2$. Neka je $T$ diralište tangente iz točke $A$ na kružnicu promjera $\overline{PB}$. Odredi duljinu $|PT|$.

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljeni su kraljevi i topovi, tako da nijedna figura nije napadnuta. Kralj napada susjedna polja (njih osam, osim kada je na rubu ploče), a top napada sva polja u retku i stupcu u kojem se nalazi. Koliko je najviše figura na ploči ako je broj topova jednak broju kraljeva?

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Četiri sfere polumjera $R$ leže na bazi stošca tako da svaka dodiruje dvije od preostalih sfera te plašt stošca. Peta sfera istog polumjera dodiruje prve četiri sfere i plašt stošca. Odredi volumen tog stošca.

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.