Croatian Competitions 2018

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 2$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{(a - 1)^2}{b} + \frac{(b - 1)^2}{c} + \frac{(c - 1)^2}{a} \geqslant \frac{1}{4} \left( \frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} \right).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dobra riječ je niz od $3n$ slova pri čemu se svako od slova $A$, $B$ i $C$ pojavljuje točno $n$ puta. Dokaži da za svaku dobru riječ $X$ postoji dobra riječ $Y$ takva da se $Y$ od $X$ ne može dobiti u manje od $\frac{3}{2}n^2$ zamjena susjednih slova.

Dana je kružnica $k$ sa središtem $O$. Neka je $\overline{AB}$ tetiva te kružnice i $M$ njeno polovište. Tangente na kružnicu $k$ u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $T$. Pravac $\ell$ prolazi točkom $T$, siječe kraći luk $\widehat{AB}$ u točki $C$, a dulji luk $\widehat{AB}$ u točki $D$ i pritom je $|BC| = |BM|$.

Dokaži da je središte kružnice opisane trokutu $ADM$ osnosimetrično točki $O$ u odnosu na pravac $AD$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$2^m = 7n^2 + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$f(xf(y)) = (1 - y)f(xy) + x^2y^2f(y).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Unutar kružnice nalaze se točke $A_1, A_2, \ldots, A_n$, a na kružnici točke $B_1, B_2, \ldots, B_n$ takve da su dužine $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$ u parovima disjunktne. Skakavac smije skočiti iz točke $A_i$ u točku $A_j$ (za $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, $i \neq j$) ako i samo ako dužina $\overline{A_iA_j}$ ne prolazi nijednom unutarnjom točkom dužina $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$.

Pokaži da skakavac nizom skokova može doći iz bilo koje točke $A_i$ u bilo koju točku $A_j$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da postoji prirodni broj $k$ takav da je broj

$$51^k - 17$$

djeljiv brojem $2^n$.

Neka su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi s realnim koeficijentima takvi da je

$$P(P(x)) = (Q(x))^2$$

za svaki realni broj $x$. Postoji li nužno polinom $R(x)$, također s realnim koeficijentima, takav da je $P(x) = (R(x))^2$ za svaki realni broj $x$?

Na slici je prikazan lanac sastavljen od $54$ jedinična kvadratića. Svaki kvadratić, osim dvaju rubnih, spojen je s dva susjedna u nasuprotnim vrhovima.

Svaki kvadratić smije se postaviti u bilo koji položaj u prostoru uz uvjet da ostane spojen sa susjednim kvadratićima u odgovarajućim vrhovima. Je li moguće taj lanac postaviti tako da tvori oplošje kocke dimenzija $3 \times 3 \times 3$?

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje vrijedi:

Za bilo koje cijele brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n$, čiji zbroj nije djeljiv s $n$, postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da nijedan od $n$ brojeva

$$a_i, \quad a_i + a_{i+1}, \quad \ldots, \quad a_i + a_{i+1} + \cdots + a_{i+n-1}$$

nije djeljiv s $n$, pri čemu za $i > n$ definiramo $a_i = a_{i-n}$.

Neka su $n$, $k$, $M$ i $a_1, a_2, \ldots, a_n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = k \quad \text{i} \quad a_1a_2\cdots a_n = M.$$

Ako je $M > 1$, dokaži da ne postoji pozitivan realni broj $x$ takav da vrijedi

$$M(x + 1)^k = (x + a_1)(x + a_2)\cdots(x + a_n).$$

Neka je $a \geqslant 2018$ realni broj. U svakoj od $2018$ posuda nalazi se konačan broj kuglica, pri čemu je masa svake kuglice oblika $a^k$, gdje je $k \in \mathbb{Z}$. Ukupna masa kuglica u svakoj posudi je jednaka. Koliko se najmanje kuglica jednake mase pojavljuje među kuglicama u posudama?

Neka je $ABCD$ jednakokračni trapez s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$. Dijagonale trapeza sijeku se u točki $S$, a polovište stranice $\overline{AD}$ je točka $M$. Kružnica opisana trokutu $BCM$ ponovno siječe stranicu $\overline{AD}$ u točki $K$. Dokaži da su pravci $SK$ i $AB$ međusobno paralelni.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$ postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da je za sve $1 \leqslant i < j \leqslant n$

$$\frac{a_j + a_i}{a_j - a_i}$$

prirodan broj.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x &+ y \; - z &= -1 \\ x^2 &- y^2 + z^2 &= \phantom{-}1 \\ -x^3 &+ y^3 + z^3 &= -1. \end{aligned}$$

Neka su $D_0, D_1, \ldots, D_{2018}$ točke na dužini $\overline{AB}$ takve da je $D_0 = A$, $D_{2018} = B$ i $$|D_0D_1| = |D_1D_2| = \cdots = |D_{2017}D_{2018}|.$$

Ako je $C$ točka takva da je $\angle BCA = 90^\circ$, dokaži da vrijedi $$|CD_0|^2 + |CD_1|^2 + \cdots + |CD_{2018}|^2 = |AD_1|^2 + |AD_2|^2 + \cdots + |AD_{2018}|^2.$$

Dani su prosti broj $p$ i prirodni broj $n \geqslant p-1$. Ako je broj $np+1$ kvadrat nekog prirodnog broja, dokaži da je broj $n+1$ zbroj kvadrata nekih $p$ prirodnih brojeva.

U trokutu $ABC$ je $\measuredangle CAB = 2\measuredangle ABC$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta $ABC$, a pritom vrijedi $|AD| = |BD|$ i $|CD| = |AC|$. Dokaži da je $\measuredangle ACB = 3\measuredangle DCB$.

Za prirodne brojeve raspoređene ukrug kažemo da su u cik-cak rasporedu ako je svaki broj ili veći ili manji od oba svoja susjeda. Za par susjednih brojeva kažemo da je dobar ako su nakon njegovog uklanjanja preostali brojevi također u cik-cak rasporedu.

Brojevi od 1 do 300 raspoređeni su u cik-cak raspored. Koliki je najmanji mogući broj dobrih parova susjednih brojeva?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $$S(a) = S(b) = S(a + b) = n,$$ pri čemu $S(a)$ označava zbroj znamenaka broja $a$.

Branko ispisuje niz kvadratnih polinoma s realnim koeficijentima. U svakom koraku, nakon prethodno napisanog polinoma $ax^2 + bx + c$, zapisuje polinom $cx^2 + bx + a$ ili polinom $a(x + d)^2 + b(x + d) + c$ za neki realni broj $d$.

Ako započne s polinomom $x^2 - 2x - 1$, može li Branko opisanim postupkom nakon određenog broja koraka dobiti polinom:

a) $2x^2 - 1$?

b) $2x^2 - x - 1$?

Dan je trapez $ABCD$. Simetrala kraka $\overline{BC}$ siječe krak $\overline{AD}$ u točki $M$, a simetrala kraka $\overline{AD}$ siječe krak $\overline{BC}$ u točki $N$.

Neka su $O_1$ i $O_2$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ABN$ i $CDM$. Dokaži da pravac $O_1O_2$ prolazi polovištem dužine $\overline{MN}$.

Odredi sve parove prostih brojeva $(p, q)$ za koje je $p^{q-1} + q^{p-1}$ kvadrat prirodnog broja.

Dana je kvadratna ploča s $n \times n$ polja, gdje je $n$ neparan prirodni broj. Svaki od $2n(n+1)$ jediničnih bridova koji omeđuju polja te ploče je ili crvene ili plave boje. Poznato je da je najviše $n^2$ bridova crvene boje.

Dokaži da postoji polje te ploče čija su barem tri brida plave boje.

Dokaži da za svaki realni broj $x$ vrijedi $$\cos^3 \frac{x}{3} + \cos^3 \frac{x + 2\pi}{3} + \cos^3 \frac{x + 4\pi}{3} = \frac{3}{4} \cos x.$$

Neka je $S = \{0,95\}$. U svakom koraku Lucija proširuje skup $S$ tako da odabire neki polinom s koeficijentima iz $S$, različit od nulpolinoma, te skupu $S$ dodaje sve cjelobrojne nultočke tog polinoma. Postupak nastavlja odabirom drugog polinoma s koeficijentima iz tako proširenog skupa $S$ dok god na taj način može dobiti nove nultočke.

Dokaži da Lucija može konačnim nizom koraka proširiti skup $S$ do skupa koji nije moguće dalje proširiti. Koliko elemenata tada ima skup $S$?

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a,b)$ za koje $a^2b$ dijeli $b^2 + 3a$.

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$, različito od $A$. Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$. Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Dva igrača naizmjence zapisuju po jednu znamenku, redom slijeva nadesno. Igrač gubi ako je nakon njegovog poteza napisan niz znamenaka $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ za koji postoji prirodni broj $k$ takav da je broj $\overline{a_k a_{k+1} \ldots a_n}$ djeljiv s 11.

Koji igrač može pobijediti neovisno o igri protivnika?

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da za svaki izbor brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [0,1]$ vrijedi $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n + 1)^2 \geqslant 4(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2).$$

Gaussov cijeli broj je kompleksni broj čiji su realni i imaginarni dijelovi cijeli brojevi. Odredi najveći prirodni broj $n$ za koji postoji skup od $n$ Gaussovih cijelih brojeva tako da su kvadrati njihovih apsolutnih vrijednosti uzastopni prirodni brojevi.

Neka je $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ funkcija takva da je $$f(ab) = f(a + b)$$ za sve prirodne brojeve $a \geqslant 4$ i $b \geqslant 4$.

Dokaži da je $f(n) = f(8)$ za sve prirodne brojeve $n \geqslant 8$.

Neka su $\overline{BD}$ i $\overline{CE}$ visine šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ siječe dužinu $\overline{BD}$ u točki $F$. Kružnica promjera $\overline{AB}$ siječe pravac $CE$ u točkama $G$ i $H$, pri čemu je $G$ između $C$ i $E$. Ako je $\measuredangle CHF = 12^\circ$, odredi $\measuredangle AGF$.

Na natjecanju sudjeluje 300 natjecatelja. Svaka dva natjecatelja se međusobno ili poznaju ili ne poznaju, a ne postoje tri natjecatelja koji se svi međusobno poznaju. Odredi najveću moguću vrijednost broja $n$ tako da vrijede sljedeći uvjeti:

• Svaki natjecatelj poznaje najviše $n$ ostalih natjecatelja.

• Za svaki prirodni broj $m$ takav da je $1 \leqslant m \leqslant n$ postoji barem jedan natjecatelj koji poznaje točno $m$ ostalih natjecatelja.

Marko je nacrtao pravokutnik s dvije plave stranice duljine $24$ i dvije crvene stranice duljine $36$. Svaku točku unutar pravokutnika je obojio bojom stranice koja je najbliža toj točki. Točke koje su jednako udaljene od plave i crvene stranice je obojio crno. Odredi površinu crvenog dijela pravokutnika.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti pozitivni realni brojevi takvi da je $(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \neq 0$. Dokaži da barem jedan od brojeva

$$\frac{a + b}{a + b - c}, \quad \frac{b + c}{b + c - a}, \quad \frac{c + a}{c + a - b}$$

pripada intervalu $\langle 1,2\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Dano je $599$ žutih i $301$ plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od $2$ i od $5$?

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Kvadrat $ABCD$ ima stranicu duljine 1. Neka je točka $X$ na stranici $\overline{AB}$, a točka $Y$ na stranici $\overline{AD}$ tako da je $\measuredangle CXY = 90°$. Odredi položaj točke $X$ za koji je površina trokuta $CDY$ najmanja moguća.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba

$$x^2 - 3nx + n + 3 = 0$$

ima cjelobrojna rješenja.

Dane su dvije kružnice koja se ne sijeku, polumjera $r_1$ i $r_2$. Udaljenost dirališta zajedničke unutarnje tangente na te kružnice iznosi $12$, a udaljenost dirališta zajedničke vanjske tangente na te kružnice iznosi $16$. Odredi umnožak $r_1r_2$.

Unutarnja tangenta (je ona zajednička tangenta koja) siječe dužinu koja spaja središta kružnica.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj. Dokaži da među bilo kojih $n$ brojeva iz skupa

$$\{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$$

postoji nekoliko brojeva čiji je zbroj djeljiv s $2n$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takvih da je $x,y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ za koje vrijedi

$$\frac{2 \sin^2 x + 2}{\sin x + 1} = 3 + \cos (x + y).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab, \quad a^2 - b^2 + c^2 = \sqrt{2} ac.$$

Odredi omjer $b : c$.

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DBC = \measuredangle DCB = 50°$ i $\measuredangle DAB = \measuredangle ABC = \measuredangle BDC$. Dokaži da je $AC \perp BD$.