Local Competitions 2010

Postoji li funkcija $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ za koju vrijedi

$$f(f(n)) = f(n + 1) - f(n)$$

za svaki $n \in \mathbb{N}$?

Dan je pravokutni trokut i konačan skup točaka u njemu. Dokaži da se ove točke mogu povezati izlomljenom linijom (ne nužno zatvorenom) tako da je suma kvadrata duljina segmenata izlomljene linije manja ili jednaka kvadratu duljine hipotenuze danog trokuta.

Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$. Neka su $E$ i $F$ točke na dužinama $\overline{BD}$ i $\overline{BC}$ redom, takve da je $\measuredangle BAE = \measuredangle CAF$. Neka su $P$ i $Q$ točke na dužinama $\overline{BC}$ i $\overline{BD}$ redom, takve da je $EP \parallel CD$ i $FQ \parallel CD$. Dokaži da je $\measuredangle BAP = \measuredangle CAQ$.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $a$ najveći prirodni broj za koji je broj $5^n - 3^n$ djeljiv s $2^a$, te neka je $b$ najveći prirodni broj takav da je $2^b \leqslant n$. Dokaži da je $a \leqslant b + 3$.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n \geqslant n \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geqslant n^2.$$

Dokaži da postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da je $x_i \geqslant 2$.

U svakom vrhu pravilnog $n$-terokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se određeni broj novčića: u vrhu $A_k$ nalazi se točno $k$ novčića, za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$. U svakom koraku radimo sljedeću transformaciju: odabiremo dva novčića (ne nužno iz istog vrha) i prebacujemo svakog od njih u susjedni vrh, tako da jednog pomičemo u smjeru kretanja kazaljke na satu, a drugog u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu.

Odredi za koje brojeve $n$ je moguće postići da nakon konačnog broja koraka za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$ u vrhu $A_k$ bude točno $n + 1 - k$ novčića.

Zadan je šiljastokutni trokut $ABC$. Neka su točke $B'$ i $C'$ simetrične točkama $B$ i $C$ u odnosu na pravce $AC$ i $AB$ redom. Ako se kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku još u točki $P$, dokaži da pravac $AP$ prolazi središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da ne postoji beskonačni niz prostih brojeva $p_0, p_1, p_2, \ldots$ takav da za svaki prirodni broj $k$ vrijedi

$$p_k = 2p_{k-1} + 1 \quad \text{ili} \quad p_k = 2p_{k-1} - 1.$$

Odredi najmanji realni broj $D$ takav da nejednakost

$$\frac{a + b}{a + 2b} + \frac{b + c}{b + 2c} + \frac{c + a}{c + 2a} < D$$

vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$.

Neka polja pravokutne ploče $n \times m$ ($n, m \geqslant 2$) obojana su crnom bojom, dok su ostala polja bijela. Izvan ploče nalazi se žaba koja u jednom trenutku skoči na neko rubno polje ploče, a zatim radi niz skokova, skačući svaki put na neko od susjednih polja. (Za dva polja kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.) Svaki put kad žaba doskoči na neko polje, boja tog polja se mijenja, iz bijele u crnu ili obratno.

Postoji li put kojim žaba može proći i napustiti ploču skočivši s rubnog polja tako da nakon toga sva polja budu crne boje?

Neka je $ABC$ trokut u kojem je $|AB| < |CA| < |BC|$ i neka su $D$ i $E$ redom točke na polupravcima $BA$ i $BC$ takve da je $|BD| = |BE| = |AC|$. Opisana kružnica trokuta $BDE$ siječe dužinu $\overline{AC}$ u točki $P$, a pravac $BP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točki $Q$ ($Q \neq B$). Dokaži da je $|AQ| + |QC| = |BP|$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Dokaži da jednadžba

$$(x + 1)^n - x^n = ny$$

nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da je

$$\frac{a^4}{b^2 + c} + \frac{b^4}{c^2 + a} + \frac{c^4}{a^2 + b} \geqslant \frac{3}{2}.$$

Na svakom polju ploče $n \times n$ ($n \geqslant 2$) nalazi se žarulja koja može biti upaljena ili ugašena.

U svakom koraku biramo jedan kvadrat $2 \times 2$ na toj ploči i unutar njega sve upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo. Za raspored upaljenih žarulja kažemo da je dobar ako se može postići da, počevši od njega, nakon konačno mnogo koraka, sve žarulje budu ugašene.

a) Dokaži da raspored prikazan na slici nije dobar. (Prikazan je položaj svih upaljenih žarulja na ploči $10 \times 10$.)

b) Koliko bi, u tom primjeru, minimalno dodatnih žarulja na početku trebalo upaliti da raspored bude dobar?

c) Odredi broj svih mogućih dobrih početnih rasporeda za $n \times n$ ploču.

Unutar trokuta $ABC$ dana je točka $P$ takva da je

$$\measuredangle ABP = \measuredangle PCA = \frac{1}{3} (\measuredangle ABC + \measuredangle BCA).$$

Dokaži da je $\frac{|AB|}{|AC| + |PB|} = \frac{|AC|}{|AB| + |PC|}$.

Dokaži da ne postoje prosti broj $p$ i prirodni brojevi $a$ i $n$ ($n \geqslant 2$) takvi da vrijedi

$$2^p + 3^p = a^n.$$

U šesterokutu $ABCDEF$ vrijedi $$AB \perp BC, \quad AC \perp CD, \quad AD \perp DE, \quad AE \perp EF.$$

Ako su duljine stranica tog šesterokuta prirodni brojevi, dokaži da ne mogu svi biti neparni.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$\frac{1 - a^2 + c^2}{c(a + 2b)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a(b + 2c)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b(c + 2a)} \geqslant 6.$$

Na $n$ kartica napisane su rečenice:

$$\emph{"Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno."}$$

za $k = 0,1,2,\ldots,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

U trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle ACB = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle CBA$, a $M$ je polovište dužine $BC$. Kružnica sa središtem u točki $A$ siječe pravac $BC$ u točkama $M$ i $D$.

Dokaži da je $|MD| = |AB|$.

Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula.

U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$.

Kažemo da je prirodni broj $n$ dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$.

a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv.

b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.

Dokaži da svaki kompleksni broj $z$ za koji postoji točno jedan kompleksni broj $a$ takav da je $$z^3 + (2 - a) z^2 + (1 - 3a) z + a^2 - a = 0$$ zadovoljava jednakost $z^3 = 1$.

Odredi sva realna rješenja sustava $$\begin{aligned} (1 + 4x^2) y &= 4z^2, \\ (1 + 4y^2) z &= 4x^2, \\ (1 + 4z^2) x &= 4y^2. \end{aligned}$$

a) Dokaži da za međusobno različite prirodne brojeve $a$ i $b$ postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da su brojevi $a + n$ i $b + n$ relativno prosti.

b) Postoje li međusobno različiti prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ za koje ne postoji prirodni broj $n$ takav da su brojevi $a + n$, $b + n$, $c + n$, $d + n$ u parovima relativno prosti?

Upisana kružnica dodiruje stranice $AB$ i $AC$ trokuta $ABC$ u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Dokaži da je $BP \perp CP$.

Na početku je u svaki od kvadrata raspoređenih kao na slici upisana nula.

U svakom potezu odabire se jedan od kvadrata te se istovremeno brojevi koji se nalaze u tom kvadratu i u svim njemu susjednim kvadratima uvećavaju za jedan.

Dokaži da je nakon određenog broja poteza:

a) moguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2010$;

b) nemoguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2011$.

Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$. Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$. Dokaži da vrijedi $$\frac{|SD|}{|SC|} = \left| \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} \right|.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $x$ i $y$ za koje je $\dfrac{xy^2}{x + y}$ prosti broj.

Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $AB$ i $AC$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $|AC| = 2|OP|$, dokaži da vrijedi $|AB| = 2|OQ|$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n$ vrijedi nejednakost: $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_i + \cdots + x_n)^2 \geqslant n (x_1 x_2 + x_2 x_3 + \cdots + x_i x_{i+1} + \cdots + x_n x_1).$$

Na natjecanju je bilo $30$ strijelaca. Svaki natjecatelj gađa $16$ puta metu koja je podijeljena na dva dijela, A i B. Ako pogodi u dio A natjecatelj dobiva $10$ bodova, a ako pogodi u dio B dobiva $5$ bodova. Na kraju natjecanja utvrđeno je da je broj pogodaka u dio B veći od polovine ukupnog broja odapetih strelica te da je ukupan broj promašaja jednak ukupnom broju pogodaka u dio A.

Dokaži da su barem dva natjecatelja ostvarila isti broj bodova.

a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$-tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo.

b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta:

i) $f(n)f(-n) = f(n^{2})$ za sve $n \in \mathbb{Z}$,

ii) $f(m + n) = f(m) + f(n) + 2mn$ za sve $m, n \in \mathbb{Z}$.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $M(n)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M(n)}\in \{2,3,\ldots ,n\}$ tako da vrijedi:

Za svaka dva različita broja $i,j\in \{1,2,\ldots ,M(n)\}$ brojevi $2^{x_i} - 1$ i $2^{x_j} - 1$ su relativno prosti.

Ako je $M(k) = M(k - 1)$ za neki prirodni broj $k > 1$, dokaži da je $k$ složen.

Konveksni četverokut podijeljen je dijagonalama na četiri trokuta čije su upisane kružnice sukladne. Dokaži da je taj četverokut romb.

U tablicu $n \times n$, $n \geqslant 2$, potrebno je upisati brojeve $1$, $2$, $3$ i $4$ tako da svaka četiri polja koja imaju jedan zajednički vrh sadrže četiri različita broja.

Na koliko je načina to moguće napraviti?