Croatian Competitions 2023

Neka je $c$ prirodan broj. Pretpostavimo da je $x_1, x_2, \ldots$ (beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi

$$x_n \mid n^2 + c.$$

Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $x_n = n^2 + c$ za svaki $n \geqslant M$.

Za prirodne brojeve $n$ i $k$, promatramo popločavanja ploče dimenzija $2n \times k$ dominima dimenzija $2 \times 1$. U jednom potezu je dopušteno izabrati $2 \times 2$ kvadrat na ploči koji je potpuno prekriven s dva domina, te okrenuti ga za $90°$ oko središta. Kažemo da su dva popločavanja ekvivalentna ako je od jednog moguće dobiti drugog primjenom konačno mnogo dopuštenih poteza. Za koje parove $(n, k)$ su sva popločavanja ekvivalentna?

Zadan je konveksan šesterokut $ABCDEF$ kojemu su sveke dvije nasuprotne stranice međusobno različitih duljina i paralelne ($AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ i $CD \parallel FA$). Ako je $|AE| = |BD|$ i $|BF| = |CE|$, dokaži da se šesterokutu $ABCDEF$ može opisati kružnica.

Za pozitivan racionalan broj $q$ kažemo da je sjajan ako za svaki pozitivan racionalan broj $x$ postoje cijeli broj $n \geqslant 0$ i cijeli brojevi $a_0, \ldots, a_n$ takvi da je

$$x = q^{a_0} \cdot (q + 1)^{a_1} \cdot \ldots \cdot (q + n)^{a_n}.$$

Odredi sve sjajne brojeve.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x, y$ vrijedi

$$f(x + yf(x + 1)) = f(x) + f(xy) + 1.$$

Neka je $k \geqslant 2$ prirodan broj. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant k + 1$ takav da postoji skup od $n$ (različitih) realnih brojeva u kojem koji god broj da izaberemo možemo pronaći još $k$ drugih brojeva u skupu čiji je zbroj jednak izabranom broju.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|BC| : |AC| = 3 : 2$. Neka je $D$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $P$ polovište dužine $\overline{BD}$. Na pravcu $AC$ dana je točka $X$ tako da je $|AX| = |BC|$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$. Pravac $XP$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u $E$. Pravac $DE$ siječe pravac $AP$ u $Y$. Dokaži da točke $A, X, Y, E$ leže na jednoj kružnici ako i samo ako je $|AB| = |BC|$.

Neka je $x$ prirodan broj. Pretpostavimo da postoje dva relativno prosta prirodna broja $m$ i $n$ za koje su brojevi $x^3 + mx$ i $x^3 + nx$ kvadrati prirodnih brojeva. Dokaži da postoji beskonačan skup prirodnih brojeva $S$ takav da su svi članovi skupa $S$ u parovima relativno prosti, te je $x^3 + kx$ kvadrat prirodnog broja za svaki $k \in S$.

Neka je $a_1, a_2, a_3, \ldots$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n \geqslant 2$ vrijedi

$$a_n - a_{n+2} \leqslant (a_{n-1} - a_{n+1}) \cdot \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{a_{n-1} + a_n}.$$

Dokaži da je $a_{100} \geqslant a_{102}$.

Neka je $n$ prirodan broj. Na početku je $n$ kamenčića raspoređeno u $n$ hrpa (u svakoj hrpi je po jedan kamenčić). U pojedinom potezu biramo dvije hrpe, uzimamo jednak broj kamenčića s tih dviju hrpa te od tih kamenčića stvaramo novu hrpu. U ovisnosti o $n$, odredi najmanji mogući broj nepraznih hrpa nakon nekog konačnog niza poteza.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$. Pretpostavimo da točke $Q, A, B, P$ leže na pravcu u tom poretku, da je $AC$ tangenta opisane kružnice trokuta $ADQ$ te da je $BD$ tangenta opisane kružnice trokuta $BCP$. Dokaži da se pravac $CD$, tangenta opisane kružnice trokuta $ANQ$ u točki $A$ i tangenta opisane kružnice trokuta $BMP$ u točki $B$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva dijeli umnožak svih zbrojeva međusobno različitih parova prostih brojeva koji nisu veći od $n$, tj. za koje vrijedi

$$n! \mid \prod_{\substack{p < q \leqslant n \\ p, q \text{ prosti}}} (p + q).$$

Neka su $x, y, z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{x + z} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \geqslant 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.$$

Neka su $k$ i $\ell$ prirodni brojevi. Odredi najmanji prirodan broj $m$ za koji je moguće podijeliti kvadrat $ABCD$ na $m$ pravokutnika stranica paralelnih sa stranicama kvadrata tako da svaki pravac paralelan s $AB$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $k$ pravokutnika, a svaki pravac paralelan s $BC$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $\ell$ pravokutnika.

Neka je $T$ težište raznostraničnog trokuta $ABC$. Označimo sa $A_1, B_1, C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, a sa $A_2, B_2, C_2$ polovišta dužina $\overline{AT}$, $\overline{BT}$ i $\overline{CT}$ redom. Dokaži da se kružnice opisane trokutima $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_2$ i $A_2B_2C_1$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve parove različitih prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi

$$ab(b - a) \mid a^4 - b^2.$$

Odredi sve trojke $(p,q,r)$ prostih brojeva za koje vrijedi $pq + r = 1 + rp + qr$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$a^2 + b^2 + |ab - 1| + |ab - 4|$$

za neke realne brojeve $a$ i $b$.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $\measuredangle BAC = 45°$, $|AB| = 4$, $|AC| = 3\sqrt{2}$. Neka su $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ visine tog trokuta. Okomica na $\overline{AB}$ kroz točku $E$ siječe dužinu $\overline{AD}$ u točki $P$.

Odredi $|EP|$.

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$abc = -1, \quad a + b + c = 4 \quad \text{i}$$

$$\frac{a}{a^2 - 3a - 1} + \frac{b}{b^2 - 3b - 1} + \frac{c}{c^2 - 3c - 1} = \frac{4}{9}.$$

Dokaži da je $a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{33}{2}$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dana su dva jednaka kompleta od po $n$ kartica s oznakama od 1 do $n$. Na stol su nekim redom slijeva nadesno posložene sve kartice prvog kompleta, a u nastavku istim redom sve kartice drugog kompleta. Kažemo da je takav poredak kartica dobar ako je moguće odabrati i ukloniti nekih $n$ kartica tako da preostane $n$ kartica s brojevima od 1 do $n$ poredanih u rastućem poretku slijeva nadesno. Koliko ima dobrih rasporeda kartica?

Odredi polumjer osnovke stošca čija je izvodnica duljine 1, tako da razlika površina njegovog plašta i njegove osnovke bude maksimalna.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Manda je, za odabrani prirodni broj $n > 3$, izradila sve stranice i sve dijagonale pravilnog $n$-terokuta od tankog pruća. Zatim je Ivan tih $\frac{1}{2}n(n - 1)$ štapova podijelio u grupe po tri štapa tako da se od svake grupe može napraviti trokut.

Za koje je brojeve $n$ to moguće?

Simetrala kuta $\measuredangle ACB$ siječe stranicu $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u točki $K$, a opisanu kružnicu u točki $L$ ($L$ je različito od $C$). Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $S$ središte opisane kružnice trokuta $IKB$. Neka je $P$ sjecište pravca $SL$ i stranice $\overline{AB}$. Dokaži da je pravac $SK$ tangenta kružnice opisane trokutu $KLP$.

Postoji li skup od 100 prirodnih brojeva takav da za svaka četiri elementa tog skupa njihov umnožak dijeli zbroj njihovih četvrtih potencija?

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Označimo s $\tau(n)$ broj prirodnih djelitelja broja $n$. Prirodni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju jednakost

$$a + \tau(a) = b^2 + 2.$$

Dokaži da je broj $a + b$ paran.

Dan je trokut $ABC$. Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ sjecište simetrale kuta $\measuredangle CBA$ s nasuprotnom stranicom. Ako je $\measuredangle BEA = 45°$, odredi $\measuredangle EDC$.

Odredi najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje realni brojevi $x_1, \ldots, x_n \in [1, 4]$ koji zadovoljavaju nejednakosti:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + \ldots + x_n &\geq \frac{7}{3} n, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} &\geq \frac{2}{3} n. \end{aligned}$$

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?

Za realni broj $c \neq 0$ i prirodni broj $n$, neka je $a_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + cx)^n$, a $b_k$ koeficijent uz $x^k$ u izrazu $(1 + 2cx)^n$. Poznato je da su $a_1$, $a_3$ i $a_4$ uzastopni članovi geometrijskog niza, te da su $b_1$, $2b_2$ i $2b_3$ uzastopni članovi aritmetičkog niza. Odredi brojeve $c$ i $n$.

Neka je $S$ skup svih prirodnih brojeva manjih od 1000 čije su sve znamenke u dekadskom zapisu parne. Neka je $\omega$ kompleksni broj takav da je $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

Izračunaj zbroj $\sum_{k \in S} \omega^k$ tj. zbroj vrijednosti $\omega^k$ za sve $k$ iz skupa $S$.

Postoje li medusobno različiti pozitivni realni brojevi $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{2023}$ takvi da se od

jednog kvadrata stranice duljine $a_1$,

tri kvadrata stranica duljine $a_3, \ldots,$

$k$ kvadrata stranice duljine $a_k, \ldots,$

2023 kvadrata stranica duljine $a_{2023}$

može sastaviti kvadrat?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem je $|AC| < |BC|$. Njegove visine $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ sijeku se u ortocentru $H$. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CH}$ sijeku u točki $I$, a pravci $DE$ i $AB$ u točki $X$. Neka je $H_1$ ortocentar trokuta $XAC$, a $H_2$ ortocentar trokuta $XIC$.

Ako je $|AH_1| = |IH_2|$, dokaži da je $|AI| = |DH_2|$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{N}$ za koje je $f(a) \neq b$ vrijedi

$$f(a) - b \mid f(a)^2 + 2b + 1 - f(b)^2.$$

Dokaži da jednadžba $$(n - 20)^3 + 2n^3 = (n + 20)^3$$ nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $$\frac{xy}{4y - 3x} = 20,$$ $$\frac{xz}{2x - 3z} = 15,$$ $$\frac{zy}{4y - 5z} = 12.$$

Marijan je na ploču napisao niz od $n$ prostih brojeva tako da je svaki sljedeći broj za $6$ veći od prethodnog.

Dokaži da postoji najveći prirodan broj $n$ za koji je to moguće. Koji je to najveći $n$ i koje je sve nizove Marijan mogao napisati na ploču za taj najveći $n$?

Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja dira stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DE$ siječe pravac $DF$ u točki $M$, a pravac koji prolazi točkom $C$ i paralelan je s $DF$ siječe pravac $DE$ u točki $N$. Dokaži da pravac $MN$ sadrži srednjicu trokuta $ABC$.

U krugu sjede $2023$ osobe. Među njima je $N$ osoba koje uvijek govore istinu, dok svi ostali uvijek lažu. Svi su dali izjavu: „Obje osobe koje sjede do mene lažu." Odredi sve vrijednosti broja $N$ za koje je to moguće.

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x) = \dfrac{2023}{x^2 - a^2 - x - a}$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Unutar paralelograma $ABCD$ odabrana je točka $T$ tako da vrijedi $|TC| = |BC|$. Neka su $P$ i $M$ redom polovišta dužina $\overline{CD}$ i $\overline{AT}$. Dokaži da je pravac $BT$ okomit na pravac $PM$.

Žaba Žana nalazi se ishodištu brojevnog pravca, te u svakom koraku skače za jedan ulijevo, za jedan udesno ili ostaje na mjestu. Lina i Dina izabrale su relativno proste brojeve $m$ i $n$, gdje je $m > n$. Nakon svakih $n$ koraka Lina zapovijeda: „Lijevo!", a nakon svakih $m$ koraka Dina zapovijeda: „Desno!" Žana miruje dok ne čuje prvu zapovijed, a nakon toga počinje (ili nastavlja) skakati u smjeru prema zapovijedi. Zaustavlja se u prvom koraku u kojem čuje obje zapovijedi. U ovisnosti o brojevima $m$ i $n$ odredi na kojoj se udaljenosti od ishodišta Žana zaustavila.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $\measuredangle ACB = 60^\circ$, $|AC| = \sqrt{3} - 1$ i $|BC| = 2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle ACM$.

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.