Croatian Competitions 2024

Neka je $S = \{n \in \mathbb{N} : n \geq 2024\}$.

Odredi sve funkcije $f: S \to \mathbb{N}$ takve da za sve $m, n \in S$ vrijedi

$$2m(f(m) + f(n)) = \sum_{k=0}^{f(m)} f(n + k).$$

Antun i Bernarda igraju igru u kojoj naizmijence biraju uređene parove brojeva. Bernarda počinje igru i bira uređeni par $(n,1)$ za neki $n \in \mathbb{N}$. Ako je prethodni igrač odabrao uređeni par $(a,b)$, igrač na potezu bira jedan od parova $(a-b,b)$ i $(a-2b,2b)$. Igru gubi igrač koji odabere par u kojem je jedan od brojeva negativan.

Za koliko prirodnih brojeva $n < 2^{100}$ Antun može osigurati pobjedu neovisno o tome kako Bernarda igra nakon svog prvog poteza?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Neka su $k$ i $n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $k \leq 2n$. Dokaži da je

$$2^{2n+2} + 2^{k+2} + 1$$

kvadrat prirodnog broja ako i samo ako vrijedi $k = n$.

Neka je $n \geq 2$ prirodni broj. Za niz prirodnih brojeva $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$, kažemo da je par $(i,j)$, $1 \leq i < j \leq n$ zlatni ako vrijedi jednakost

$$a_j^2 - a_i^2 = 2(a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j).$$

Odredi najveći mogući broj zlatnih parova (koji se može postići u nekom nizu od $n$ prirodnih brojeva).

Za $2024$-člani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je skladan ako umnožak bilo kojih $100$ njegovih elemenata dijeli umnožak preostalih $1924$ elemenata.

Koliko najviše prostih brojeva može biti u skladnom skupu?

Kružnice $k_1$ i $k_2$, redom sa središitima $O_1$ i $O_2$, sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $p$ prolazi točkom $B$ i sijeće kružnicu $k_1$ još u točki $C$, a kružnicu $k_2$ još u točki $D$, pri čemu se točka $B$ nalazi između $C$ i $D$. Tangenta na kružnicu $k_1$ u točki $C$ i tangenta na kružnicu $k_2$ u točki $D$ sijeku se u točki $E$. Pravac $AE$ sijeće opisanu kružnicu trokuta $AO_1O_2$ u točkama $A$ i $F$.

Dokaži da duljina $|EF|$ ne ovisi o odabiru pravca $p$.

Neka je $n$ prirodni broj. Za prirodni broj $k$ kažemo da je dobar za $n$ ako postoji prirodni broj $r$ takav da je $n < r < k$ i da $r$ dijeli $nk$.

Dokaži da je najmanji broj dobar za $n$ broj

$$(d + 1) \left(\frac{n}{d} + 1\right),$$

gdje je $d$ najveći djelitelj broja $n$ koji nije veći od $\sqrt{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(y)f(1 + xf(y)) + xf(y^2) = 2yf(xy) + f(f(y)).$$

Za tročlani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je jeftin ako u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta te dva broja od kojih jedan dijeli drugoga.

Dan je prirodni broj $n$. Koliko najviše jeftinih tročlanih podskupova može imati skup koji sadrži točno $2n + 1$ prirodnih brojeva?

Neka je $ABC$ raznostranični šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |BC|$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $X$. Na toj kružnici nalazi se točka $Y$ takva da je $CA$ simetrala kuta $\measuredangle YCB$. Neka je $D$ nožište okomice iz $B$ na $AY$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{XY}$ sijeku se u točki $E$, a dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ u točki $K$. Ako je $T$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da je $TK$ simetrala kuta $\measuredangle ETD$, dokaži da je $TK$ okomito na $AB$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje postoje prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ takvi da je

$$\frac{m^a}{n^b} + \frac{n^c}{m^d}$$

prirodan broj, ali broj $\dfrac{m^a}{n^b}$ nije prirodan.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(xy) = \max\{f(x), f(y)\} \cdot \min\{x, y\}.$$

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $m, n > 1$. U svakom polju ploče dimenzija $m \times n$ nalazi se jedan novčić. Svaki novčić ima dvije strane - pismo i glavu.

Jedan potez sastoji se od sljedećeg:

(i) Odaberemo $2 \times 2$ potkvadrat na ploči.

(ii) Preokrenemo točno tri novčića u tom potkvadratu:

• novčić u gornjem lijevom polju
• novčić u donjem desnom polju
• jedan od novčića u gornjem desnom i donjem lijevom polju (po izboru).

Ako na početku svi novčići pokazuju pismo, odredi sve parove $(m,n)$ za koje se konačnim nizom poteza može postići da svi novčići pokazuju glavu.

Neka je $O$ središte opisane kružnice $k$ trokuta $ABC$ u kojem je $|AB| > |BC|$.

Kružnica $k_1$ prolazi točkama $O$ i $B$, a pravac $AB$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k$ i $k_1$ sijeku još i u točki $P$, $P \neq B$. Kružnica $k_2$ prolazi točkama $P$ i $C$, a pravac $AC$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku još u točki $M$, $M \neq P$.

Dokaži da je $|MP| = |MC|$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m,n,p)$ takve da je $p$ prost i da vrijedi

$$n(n + 1)(n + p)(n + p + 1)p^6m^2 = (4n + 3)^6(p + 1)^2(p - 4)^2.$$

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz $$x + |2|x| - 1|$$ za neki realni broj $x$.

Za višeznamenkasti prirodni broj definirana je operacija tumbanje pri kojem se vodeća znamenka izbriše, a zatim ista znamenka dopiše na kraj broja, iza znamenke jedinica. Tako npr. od broja 123 nastaje broj 231, a od broja 107 broj 71. Prirodni broj je mudar ako mu je vodeća znamenka u dekadskom zapisu jednaka 1, a tumbanjem od njega nastaje triput veći broj. Odredi sve mudre brojeve.

Unutar trokuta $ABC$ stranica duljina $|AB| = 11$, $|BC| = 13$ i $|CA| = 14$ nalazi se točka $K$ takva da je $\measuredangle KBA = \measuredangle KCB = 30°$. Točke $M$ i $N$ su redom osnosimetrične slike točke $K$ s obzirom na pravce $AB$ i $BC$. Odredi udaljenost točaka $M$ i $N$.

Realni brojevi $x$, $y$ i $z$ zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x^3 &= 2y^3 + y - 2\\ y^3 &= 2z^3 + z - 2\\ z^3 &= 2x^3 + x - 2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x = y = z = 1$.

Antonija je zamislila 6 različitih realnih brojeva, a zatim je na ploču napisala sve moguće zbrojeve dvaju, ne nužno različitih, zamišljenih brojeva. Kada je Branku rekla da su najmanja dva od zamišljenih brojeva 2024 i 4048, Branko je zaključio da koji god preostali brojevi bili, broj različitih brojeva na ploči nije mogao biti manji.

a) Koliko je različitih brojeva na ploči?

b) Koliki sve može biti najveći broj koji je Antonija zamislila?

Baka Jagoda prodaje trešnje te je uočila da postoji linearna ovisnost između cijene jednog kilograma trešanja i količine prodanih trešanja u danu: svakim povećanjem cijene za 1 € po kilogramu bi u danu prodala 3 kilograma trešanja manje. Najveći iznos od prodaje trešanja bi ostvarila kada bi ih prodavala po cijeni od 3.6 € po kilogramu. Jednog dana unuka Višnja zamijenila je baku na tržnici, sama odredila cijenu kilograma trešanja i prodala trešnje za 18.6 €. Po kojoj je cijeni Višnja mogla prodavati trešnje?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje broj $$2n^4 + 19n^2 + 9$$ ima točno 6 pozitivnih djelitelja.

Neka su stepenice dio kvadratne ploče dimenzija $111 \times 111$ koji se sastoji od prvih $k$ polja u $k$-tom retku za $k = 1, 2, \ldots, 111$. Mogu li se stepenice podijeliti na 111 kvadrata?

(Kvadrati se trebaju sastojati od jediničnih polja i ne moraju biti sukladni.)

Zadan je trapez $ABCD$ kojemu su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti. Simetrala dužine $\overline{AD}$ siječe pravac $BC$ u točki $P$, a simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe pravac $AD$ u točki $Q$. Dokaži da je $\measuredangle DPA = \measuredangle BQC$.

Mihael je na ploči zapisao kvadratnu funkciju $f(x)$ s cjelobrojnim koeficijentima. Nakon toga, u svakom je koraku promijenio (povećao ili smanjio) za 1 ili koeficijent uz $x$ ili konstantni član. U zadnjem koraku je na ploči zapisana kvadratna funkcija $g(x)$.

Je li sigurno da je u nekom trenutku na ploči bila zapisana kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama ako je

a) $f(x) = x^2 + x + 2024$ i $g(x) = x^2 + 2024x + 1$?

b) $f(x) = x^2 + 2024x + 2024$ i $g(x) = x^2 - 2024x + 2024$?

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\log_2(4^x + 2^x) + \log_{(4^x + 2^x)}2 = 2.$$

Postoje li realni brojevi $x, y \in \langle 0, \frac{\pi}{2} \rangle$ takvi da su $$\frac{1}{\sin x}, \quad \frac{1}{\sin y} \quad \text{i} \quad \frac{1}{\sin(x + y)}$$ prirodni brojevi?

Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $\overline{AD}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $E$, a pritom je $\measuredangle BAD = 20°$ i $|DE| = |AB|$. Odredi $\measuredangle ADB$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $1 < a < b$ i da vrijedi $$a + b \mid ab + 1 \quad \text{i} \quad b - a \mid ab - 1.$$

Dokaži da je $b < a\sqrt{3}$.

U igri za dva igrača koristi se 101 praznih kutija i dovoljna količina žetona. Igrači, Ema i Lovro, naizmjence odigravaju poteze. U svakom potezu, igrač stavlja po jedan žeton u sto različitih kutija. Pobjeduje igrač nakon čijeg poteza u jednoj od kutija bude 201 žeton. Ako Ema igra prva, koji od igrača može osigurati pobjedu?

Koristeći niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definirana su dva nova niza, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ i $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tako da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $$b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.$$

Ako je niz $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ aritmetički, dokaži da je $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ geometrijski niz.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(f(x) - y^2) = yf(x^2).$$

Za prirodan broj $n$ neka je $T(n)$ broj uređenih trojki prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ čiji je opseg jednak $n$.

a) Dokaži da je $T(2024) = T(2021)$.

b) Dokaži da je $T(2023) > T(2020)$.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojemu je $|AB| > |AC|$, točka $I$ središte njemu upisane kružnice, a $P$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $K$ polovište luka $\widehat{BC}$ kružnice opisane trokutu $ABC$ koji sadrži točku $A$. Dokaži da vrijedi $\measuredangle BIP + \measuredangle CIK = 180°$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{x^2 + x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 1.$$

Neka je $a$ realan broj. Ako jednadžba $x^2 - ax + a = 0$ ima dva (ne nužno različita) realna rješenja $x_1$ i $x_2$, dokaži da vrijedi $x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2(x_1 + x_2)$.

Odredi sve uređene trojke $(m, n, p)$, pri čemu su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost broj, za koje vrijedi $$(2m + 3)(4n + 1) = pmn.$$

Polukrug promjera $\overline{PQ}$ upisan je u pravokutnik $ABCD$ i dira njegove stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$. Pritom se točka $P$ nalazi na stranici $\overline{BC}$, a točka $Q$ na stranici $\overline{CD}$. Ako je $|BP| = 2$ i $|DQ| = 1$, odredi $|PQ|$.

Koliko ima prirodnih brojeva čiji zapis u dekadskome sustavu sadržava svaku od deset znamenaka $0, 1, 2, ..., 9$ točno jednom, a svaka je znamenka, osim znamenke $9$, manja od barem jedne njoj susjedne znamenke?

Za koje realne brojeve $x$ vrijedi $$5^{2x} + 4^x < 29 \cdot 10^{x-1}?$$

Neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke na opisanoj kružnici šiljastokutnog trokuta $ABC$ takve da su $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$ i $\overline{CC_1}$ promjeri te kružnice. Dokaži da vrijedi $$|A_1B| \cdot |B_1B| + |B_1C| \cdot |C_1A| = |AC| \cdot |BC|.$$

Odredi sve uređene trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje je $2^a + 2^b + 2^c + 3$ kvadrat nekoga prirodnog broja.

Dokaži da je zbroj $$\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ - \cos 2^\circ} + \frac{\cos 5^\circ}{\cos 10^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos(2n + 1)^\circ}{\cos(4n + 2)^\circ - \cos 2^\circ} + \cdots + \frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ - \cos 2^\circ}$$ jednak $$\frac{\sin 2^\circ - 1}{4 \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ}.$$