Croatian National Competitions

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.

Dokaži da je za svaki $k \in \mathbb{N}_0$ moguće odabrati $4 \cdot 2^k$ različitih prirodnih brojeva koji nisu veći od $5 \cdot 3^k$, tako da među njima ne postoje tri uzastopna člana aritmetičkog niza.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi:

$$f(x^2 + f(y)) = y - x^2.$$

Na koliko načina se broj $\dfrac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\dfrac{n + 1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.

Upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Središte te kružnice je točka $S$, a pravac $DS$ siječe dužinu $\overline{EF}$ u točki $P$. Ako je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$, dokaži da su točke $A$, $P$ i $M$ kolinearne.

Neka je $P_1, P_2, \ldots, P_{2n}$ permutacija vrhova pravilnog $2n$-terokuta. Dokaži da zatvorena poligonalna linija koja se sastoji od dužina

$$\overline{P_1P_2}, \overline{P_2P_3}, \ldots, \overline{P_{2n-1}P_{2n}}, \overline{P_{2n}P_1}$$

sadrži barem jedan par paralelnih dužina.

a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$-tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo.

b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta:

i) $f(n)f(-n) = f(n^{2})$ za sve $n \in \mathbb{Z}$,

ii) $f(m + n) = f(m) + f(n) + 2mn$ za sve $m, n \in \mathbb{Z}$.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $M(n)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M(n)}\in \{2,3,\ldots ,n\}$ tako da vrijedi:

Za svaka dva različita broja $i,j\in \{1,2,\ldots ,M(n)\}$ brojevi $2^{x_i} - 1$ i $2^{x_j} - 1$ su relativno prosti.

Ako je $M(k) = M(k - 1)$ za neki prirodni broj $k > 1$, dokaži da je $k$ složen.

Konveksni četverokut podijeljen je dijagonalama na četiri trokuta čije su upisane kružnice sukladne. Dokaži da je taj četverokut romb.

U tablicu $n \times n$, $n \geqslant 2$, potrebno je upisati brojeve $1$, $2$, $3$ i $4$ tako da svaka četiri polja koja imaju jedan zajednički vrh sadrže četiri različita broja.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$, a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$, dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$.

Dani su realni brojevi $x_0 > x_1 > x_2 > \cdots > x_n$. Dokaži da je $$x_0 - x_n + \frac{1}{x_0 - x_1} + \frac{1}{x_1 - x_2} + \cdots + \frac{1}{x_{n-1} - x_n} \geq 2n.$$

Kada vrijedi jednakost?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$f(x) = \max_{y \in \mathbb{R}} \left(2xy - f(y)\right)$$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$, $m,n > 1$, za koje je $n^3 - 1$ djeljivo s $mn - 1$.

Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$, a opseg najviše $2\pi$. Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.

Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost

$$\frac{1}{\sqrt[m]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$

Odredi formulu za zbroj

$$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{n^2 - 1} \rfloor.$$

Tu je $\lfloor r\rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

Nad stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL$, $BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajedničku stranicu).

a) Ako je $D$ točka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokaži da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.

b) Dokaži da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{KN}$ i središta kvadrata $ABKL$, $BCMN$ vrhovi kvadrata.

U prostoru je dano šest različitih točaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$. Dokaži da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\measuredangle T_iOT_j \leq 90^\circ$.

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$\begin{aligned} a_0 &= 3 \\ a_n &= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1}, \quad n \geq 1. \end{aligned}$$

a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.

b) Odredite $a_{2007}$.

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nadite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|} + \frac{1}{|OB_1|} + \frac{1}{|OC_1|} \geq 6.$$

Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.

Ako su $k$ i $n$ prirodni brojevi, dokaži da je izraz $$(n^4 - 1)(n^3 - n^2 + n - 1)^k + (n + 1)n^{4k-1},$$ djeljiv s $n^5 + 1$.

Kružnice $\mathcal{C}_1$ i $\mathcal{C}_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $\mathcal{C}_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $\mathcal{C}_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\measuredangle CAD$, siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $M$, kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A$, $B$, $C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow A$).

Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $$a_n = a_1 \cdots a_{n-1} + 1, \quad \text{za } n \geq 2.$$ Odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $$\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_n} < M \quad \text{za svaki } m \in \mathbb{N}.$$

Neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja čiji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeći i slobodni koeficijent jednaki su $1$. Uz pretpostavku da su sve nultočke od $P$ realni brojevi, dokažite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

Dokažite da postoji točno jedan prirodni broj koji se u dekadskom sustavu zapisuje samo znamenkama $2$ i $5$, ima $2005$ znamenaka i djeljiv je s $2^{2005}$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut i neka su $P$ i $Q$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$. Dokažite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake površine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

Neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1,1\}$ vrijedi $$|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n| \leq |\varepsilon_1 w_1 + \ldots + \varepsilon_n w_n|.$$

Dokažite da je $$|z_1|^2 + \ldots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \ldots + |w_n|^2.$$

Unutar trokuta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajućim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje točke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $$\measuredangle BPC = \measuredangle CPA = \measuredangle APB = 120°,$$ $$\measuredangle BQC = 60° + \alpha, \quad \measuredangle CQA = 60° + \beta, \quad \measuredangle AQB = 60° + \gamma.$$

Dokažite da vrijedi jednakost $$(|AP| + |BP| + |CP|)^3 \cdot |AQ| \cdot |BQ| \cdot |CQ| = (abc)^2.$$

Nizovi realnih brojeva $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$, $n \in \mathbb{N}$, definirani su formulama $$x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n^2 - 1}, \quad y_{n+1} = \frac{2y_n}{y_n^2 - 1}, \quad z_{n+1} = \frac{2z_n}{z_n^2 - 1},$$

a početni članovi su $x_1 = 2$, $y_1 = 4$ i $z_1$ takav da vrijedi $x_1 y_1 z_1 = x_1 + y_1 + z_1$.

a) Provjerite da su za svaki $n \in \mathbb{N}$ zadovoljeni uvjeti: $x_n^2 \neq 1$, $y_n^2 \neq 1$, $z_n^2 \neq 1$.

b) Da li postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $x_k + y_k + z_k = 0$?

Odredite sve realne brojeve $\alpha$ sa svojstvom da su svi brojevi u nizu $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 2^2\alpha, \ldots, \cos 2^n\alpha, \ldots$$ negativni.

Neka je $I$ točka na simetrali kuta $\measuredangle BAC$ trokuta $ABC$, a $M$ i $N$ redom točke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, takve da je $\measuredangle ABI = \measuredangle NIC$ i $\measuredangle ACI = \measuredangle MIB$. Dokažite da je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$ ako i samo ako su točke $M$, $N$ i $I$ kolinearne.

Niz realnih brojeva $(a_n)_{n \geq 0}$ ima svojstvo da za sve $m \geq n \geq 0$ vrijedi $$a_{m+n} + a_{m-n} = \frac{1}{2}(a_{2m} + a_{2n}).$$ Odredite $a_{2003}$ ako je $a_1 = 1$.

Prirodni brojevi od $1$ do $2003$ poredani su u niz. Na nizu vršimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak $k$, okrenemo poredak prvih $k$ brojeva. Dokazati da se nakon konačno uzastopnih primjena ove operacije broj $1$ pojavi na prvom mjestu, nezavisno od početnog rasporeda.

Dokažite da je $$\binom{n}{p} - \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$$ djeljivo s $p$, za svaki prost broj $p$ i svaki prirodan broj $n \geq p$.

Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2 x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$, $A'(-1,-1,-1)$, $B(-1,1,1)$, $B'(1,-1,-1)$, $C(-1,-1,1)$, $C'(1,1,-1)$, $D(1,-1,1)$, $D'(-1,1,-1)$. Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d = |OT|$. Označimo $s$ $\alpha = \measuredangle ATA'$, $\beta = \measuredangle BTB'$, $\gamma = \measuredangle CTC'$ i $\delta = \measuredangle DTD'$. Dokažite da je $$\mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{tg}^2 \beta + \mathrm{tg}^2 \gamma + \mathrm{tg}^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2 - 3)^2}.$$

Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.

Neka je $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.

Na slici su unutar kružnice sa središtem $O$ i polumjerom $1$ nacrtani lukovi još šest kružnica istog polumjera. U području između dvije susjedne "latice" upisan je niz kružnica s polumjerima $r_1, r_2, r_3, \ldots$, koje se s početnom kružnicom i susjednim kružnicama u nizu dodiruju redom u točkama $D_1, D_2, D_3, \ldots$. Za svaki $n$ izračunajte polumjer $r_n$ i duljinu $d_n = |OD_n|$.

Papir oblika kvadrata s vrhovima $F$, $B$, $H$ i $D$ ima stranicu duljine $a$. Na njegovim stranicama $\overline{FB}$ i $\overline{BH}$, označene su točke $G$ i $A$, odnosno $E$ i $C$, takve da je $|FG| = |GA| = |AB|$ i $|BE| = |EC| = |CH|$. Papir je presavinut po dužinama $\overline{DG}$, $\overline{DA}$, $\overline{DC}$ i $\overline{AC}$ tako da se točka $G$ poklopi s $B$, a točke $F$ i $H$ s točkom $E$. Odredite volumen tako nastale trostrane piramide $ABCD$.

Dan je broj $n = p_1p_2p_3p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$

Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\dfrac{n}{2}\left(1 + \sqrt{4n - 3}\right)$.

Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadzbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0'$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0T_0'}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0'$ na pravac $T_0T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T'$. Što opisuje točka $T'$?