Croatian National Competitions

Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = \left(\frac{1}{2}|BC|\right)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo $$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$$ Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$.

Neka je $S = \{k \in \mathbf{N} : a \in \mathbf{N}, a^2 | k \Rightarrow a = 1\}$ i $n \in \mathbf{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Polovištem svakog brida tetraedra položena je ravnina okomito na suprotni brid. Dokažite da se svih šest ravnina siječe u točki koja je simetrična središtu opisane sfere tetraedra u odnosu na njegovo težište.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj veći od $1$. Koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva $1, 2, \ldots, n$ takvih da postoji točno jedan indeks $i \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$?

Izračunajte sumu $$\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \ldots + \frac{a_k}{2^k} + \ldots$$ gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj način: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{za } n > 2.$$

U ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1,0)$, $T_2 = (0,1)$, $T_3 = (-1,0)$ i $T_4 = (0,-1)$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ polovište dužine $\overline{T_n T_{n+1}}$. Uz pretpostavku da niz točaka $T_n$ $(n \to \infty)$ ima graničnu točku, nađite koordinate te točke.

Dokažite da sve tetive parabole $y^2 = 4ax$, koje su hipotenuze pravokutnog trokuta s pravim kutom u ishodištu, prolaze istom točkom.

Neka su $a$ i $m$ prirodni brojevi, $p$ neparan prost broj, takav da $p^m \mid a - 1$ i $p^{m+1} \nmid a - 1$. Dokažite da

a) $p^{m+n} \mid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$,

b) $p^{m+n+1} \nmid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$.

Neka je $A = \{1,2,3,\dots,2n\}$ i funkcija $g: A \to A$ definirana sa $g(k) = 2n - k + 1$. Da li postoji funkcija $f: A \to A$ takva da je $f(k) \neq g(k)$ za svaki $k \in A$ i $f(f(f(k))) = g(k)$ za svaki $k \in A$, ako je

a) $n = 999$,

b) $n = 1000$?

Osam žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacije biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno.

Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

Nadite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.

U ravnini je dana kružnica $k$ i točka $K$. Za bilo koje dvije različite točke $P$ i $Q$ na $k$, kružnica $k'$ prolazi kroz točke $P$, $Q$ i $K$. Neka je $M$ sjecište tangente na kružnicu $k'$ u točki $K$ i pravca $PQ$. Opišite geometrijsko mjesto točaka $M$ kada $P$ i $Q$ prolaze svim točkama kružnice $k$.

Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1) = 1, \quad f(2) = 2,$$ $$f(n + 2) = f(n + 2 - f(n + 1)) + f(n + 1 - f(n)), \quad (n \geq 1).$$

(a) Pokažite da je $f(n + 1) - f(n) \in \{0, 1\}$ za svaki $n \geq 1$.

(b) Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n + 1) = f(n) + 1$.

(c) Za dani prirodan broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n) = 2^{k-1} + 1.$$

Neka je $k$ prirodan broj. Odredite broj nesukladnih trokuta kojima su vrhovi u vrhovima zadanog pravilnog $6k$-terokuta.

Postoji li rješenje jednadžbe $$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345?$$

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Odredite funkcije $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2, \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R},$$ gdje je $t \in (0,1)$ dani fiksan broj.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40°, \beta = 60°, \gamma = 80°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ nožišta visina tog trokuta. Na isti način se polazeči od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$, zatim redom trokuti $A_3B_3C_3, \ldots$. Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$.

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2, \quad a \neq c, \quad b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

Sve točke ravnine su na bilo koji način podijeljene na dva disjunktna skupa. Dokažite da postoji trokut čiji vrhovi pripadaju istom skupu, najmanja stranica mu ima duljinu $1$ i kutovi mu se odnose kao $1 : 2 : 3$.

Zadan je niz $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$, $x_{n+3} = x_{n+2} + x_{n+1} + x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.

Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3 - z}$.

(a) Odredite skup $\{w : z = 2 + iy, y \in \mathbf{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.

(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w - 1}{w - 2} = \lambda \frac{z - 1}{z - 2}$.

(c) Neka je $z_0 = \frac{1}{2}$ i niz $(z_n)$ definiran sa $$z_n = \frac{2}{3 - z_{n-1}}, \quad n \geq 1.$$ Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbf{N}$ vrijedi $$xP(x - n) = (x - 1)P(x), \quad \forall x \in \mathbf{R}.$$

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.

Zadan je niz $\{a_n\}$ rekurzivnom formulom $$a_{n+1} = \frac{a_n^2 + b}{2}, \quad 0 < b \leq 1, \; a_0 = 0.$$ Pokažite da je niz konvergentan i izračunajte mu limes.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \geq 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$. Nasuprotni bridovi su duljina $m$, $n$ i $p$. Dokažite da udaljenost vrha piramide od težišta osnovke iznosi $$\frac{1}{3}\sqrt{3(m^2 + n^2 + p^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}.$$

Nadite sve prirodne brojeve $n$ za koje polinom $P(x) = x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n$ posjeduje barem jednu cjelobrojnu nul-točku.

Neka je $A = \{z_1, \ldots, z_n\}$ skup od $n$ kompleksnih brojeva, $n \geq 2$ i neka je za svaki $i$ $\{z_i z_1, z_i z_2, \ldots, z_i z_n\} = A$. a) Dokažite da je za svaki $i$ ispunjeno $|z_i| = 1$. b) Dokažite da iz $z \in A$ slijedi i $\overline{z} \in A$.

Odredite geometrijski niz realnih brojeva ako je poznato da je zbroj prva četiri člana jednak $15$, a zbroj njihovih kvadrata je $85$.