Croatian National Competitions

Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $AB$ i $AC$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $|AC| = 2|OP|$, dokaži da vrijedi $|AB| = 2|OQ|$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n$ vrijedi nejednakost: $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_i + \cdots + x_n)^2 \geqslant n (x_1 x_2 + x_2 x_3 + \cdots + x_i x_{i+1} + \cdots + x_n x_1).$$

Na natjecanju je bilo $30$ strijelaca. Svaki natjecatelj gađa $16$ puta metu koja je podijeljena na dva dijela, A i B. Ako pogodi u dio A natjecatelj dobiva $10$ bodova, a ako pogodi u dio B dobiva $5$ bodova. Na kraju natjecanja utvrđeno je da je broj pogodaka u dio B veći od polovine ukupnog broja odapetih strelica te da je ukupan broj promašaja jednak ukupnom broju pogodaka u dio A.

Dokaži da su barem dva natjecatelja ostvarila isti broj bodova.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $6^m + 2^n + 2$ potpun kvadrat.

Neka je $ABC$ trokut u kojem vrijedi $|AC| > |BC|$. Izrazi površinu trokuta određenog stranicom $\overline{AB}$, simetralom stranice $\overline{AB}$ i simetralom kuta $\measuredangle ACB$ pomoću duljina stranica trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ i neka je $P$ točka u njegovoj unutrašnjosti. Neka pravac $AP$ ponovno siječe kružnicu opisanu trokutu $BCP$ u točki $A'$ i neka su $B'$ i $C'$ točke definirane analogno. Dokaži da za opseg $O$ šesterokuta $AB'CA'BC'$ vrijedi $$O \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}).$$

Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2}.$$

Dokaži da za svaki $m \in \{1, 2, \ldots, n\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ čiji je zbroj barem $m$.

U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

Duljine stranica trokuta su tri uzastopna prirodna broja, a jedan od kutova trokuta je dvaput veći od jednog od preostalih dvaju kutova. Odredi duljine stranica trokuta.

Neka su $x_1$, $x_2$, ..., $x_{n-1}$, $x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n} x_i = 1$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x_1^2}{x_1 + x_2} + \frac{x_2^2}{x_2 + x_3} + \ldots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1} + x_n} + \frac{x_n^2}{x_n + x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

Bočni brid pravilne trostrane piramide je $b = 1$, a njezin obujam je $V = \dfrac{1}{6}$. Koliki je kut pri vrhu bočne strane?

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

U trokutu $ABC$ s kutom $\measuredangle BAC = 120^{\circ}$ simetrale kutova $\measuredangle BAC$, $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle BCA$ sijeku nasuprotne stranice u točkama $D$, $E$ i $F$ redom. Dokažite da kružnica s promjerom $\overline{EF}$ prolazi kroz $D$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \measuredangle BAC$.

Deset brojeva $1$, $4$, $7$, ..., $28$ (razlika dvaju uzastopnih je $3$) raspoređeno je u krug. Sa $N$ označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja $N$ koju možemo postići?

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c = \dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $a > b$. Dokaži da za kutove $\alpha$ i $\beta$, nasuprotne stranicama $a$ i $b$, vrijedi $\alpha - \beta = 90°$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

Kružnice $\mathcal{C}_1$ i $\mathcal{C}_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $\mathcal{C}_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $\mathcal{C}_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\measuredangle CAD$, siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $M$, kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A$, $B$, $C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow A$).

Nađite sva rješenja $k$, $l$, $m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k! l! = k! + l! + m!.$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

Upisana kružnica trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $M$, $N$ i $R$. Neka je $S$ točka na manjem od dva luka $\widehat{MN}$ i $t$ tangenta na taj luk s diralištem $S$. Tangenta $t$ siječe $\overline{NC}$ i $\overline{MC}$ redom u točkama $P$ i $Q$. Dokažite da se pravci $AP$, $BQ$, $SR$ i $MN$ sijeku u jednoj točki.

Odredite skup svih točaka triedra takvih da je zbroj njihovih udaljenosti od strana triedra jednak zadanom pozitivnom broju $a$.

Pravilni poligon s $2005$ stranica ima vrhove obojane crvenom, bijelom i plavom bojom. "Dozvoljenim bojanjem" zovemo bojanje u kojem dva susjedna vrha, koja su obojana različitim bojama, obojimo trećom bojom.

a) Dokažite da postoji konačan niz "dozvoljenih bojanja" nakon kojeg su svi vrhovi poligona iste boje.

b) Je li ta boja jednoznačno određena početnim rasporedom boja vrhova?

Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $\widehat{AB}$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}?$$

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos \alpha}{a^3} + \frac{\cos \beta}{b^3} + \frac{\cos \gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc},$$ pri čemu su $a$, $b$, $c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ odgovarajući kutovi.

Visine trostrane piramide sijeku se u jednoj točki. Dokažite da ta točka, težište jedne strane piramide, nožište visine na tu stranu i tri točke koje dijele preostale tri visine u omjeru $2:1$, počevši od vrha piramide, leže na istoj sferi.

Konačan broj polja beskonačne kvadratne mreže obojen je crnom bojom. Dokažite da je u toj ravnini moguće odabrati konačno mnogo kvadrata koji zadovoljavaju svaki od sljedećih uvjeta:

(i) Unutrašnjosti svaka dva različita kvadrata su disjunktne (imaju prazan presjek).

(ii) Svako crno obojeno polje leži u nekom od tih kvadrata.

(iii) Površina crnih polja u svakom od odabranih kvadrata je barem $\frac{1}{5}$, a najviše $\frac{4}{5}$ površine tog kvadrata.

U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \measuredangle CAB$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\gamma = \measuredangle BCA$.

a) Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$.

b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite!

Dokažite jednakost $$\left\lfloor \frac{n(n + 1)}{4n - 2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n + 1}{4} \right\rfloor,$$ za svaki prirodan broj $n > 2$.

Svi bridni kutovi pri vrhu $D$ tetraedra $ABCD$ jednaki su $\alpha$, a kutovi između dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh $D$ jednaki su $\varphi$. Dokažite da postoji točno jedan kut $\alpha$ za koji je $\varphi = 2\alpha$.

Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojene plavo, a preostalih $24$ crveno. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj plavih i crvenih kvadrata $(1 \times 1)$.

U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\measuredangle ADC = \beta$, odnosno $\measuredangle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\measuredangle ACB$ pravi.

Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF \parallel BC_1$. Nadite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.

Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja.) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \dfrac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.

U ravnini su dane dvije različite točke $O$ i $P$. Odaberimo paralelogram $ABCD$ kojem je točka $O$ središte. Označimo s $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$. Točka $Q$ je presjek dužina $\overline{MC}$ i $\overline{ND}$. Dokažite da točke $O$, $Q$ i $P$ leže na istom pravcu i da točka $Q$ ne ovisi o izboru paralelograma $ABCD$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| \neq |BC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, $\alpha = \measuredangle BAC$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\varphi = \measuredangle ACM$, $\psi = \measuredangle BCM$. Dokažite da je $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \varphi \sin \psi}{\sin(\varphi - \psi)}.$$

Na ploči su napisani brojevi $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{2001}$. Učenik odabira dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.

Skup $S$ sadrži $100$ prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od $200$. Pokažite da postoji neprazan podskup $T$ od $S$ takav da je produkt brojeva iz $T$ potpuni kvadrat.

Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\measuredangle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

Pet različitih četveroznamenkastih brojeva koji počinju s istom znamenkom imaju svojstvo da četiri od njih dijele zbroj svih pet brojeva. Nadite sve takve petorke.

Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\left\lfloor \log_2 n \right\rfloor + \left\lfloor \log_3 n \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \log_n n \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[3]{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \sqrt[n]{n} \right\rfloor.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Trokut $ABC$ s kutevima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ upisan je u pravokutnik $APQR$ tako da točka $B$ leži na stranici $\overline{PQ}$, a točka $C$ na stranici $\overline{QR}$. Dokažite da je $$\operatorname{ctg}\alpha \cdot P(BCQ) = \operatorname{ctg}\beta \cdot P(ACR) + \operatorname{ctg}\gamma \cdot P(ABP).$$

Baza piramide $ABCDV$ je pravokutnik $ABCD$ čije su duljine stranica $|AB| = a$ i $|BC| = b$, a svi bočni bridovi su duljine $c$. Odredite površinu presjeka te piramide ravninom koja prolazi dijagonalom $\overline{BD}$ baze i paralelna je bočnom bridu $\overline{VA}$.

Za duljine $a$, $b$ i $c$ stranica trokuta vrijedi $a \geq b \geq c$. Vrhovi trokuta središta su triju krugova s nenegativnim polumjerima. Nikoja dva kruga nemaju zajedničkih unutarnjih točaka, niti obuhvaćaju neki od preostala dva vrha trokuta. Kolika je maksimalna površina koju pokrivaju ti krugovi?

Možemo li iz svakog deveteročlanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati četiri različita elementa $a$, $b$, $c$ i $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$?

Dokažite da za svaki trokut sa stranicama $a$, $b$, $c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ vrijedi jednakost $$\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)\cos\alpha + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right)\cos\beta + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\cos\gamma = 3.$$