Croatian Mathematical Olympiad

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ takve da vrijedi $$\left(x + \frac{1}{x}\right) f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}^+.$$

($\mathbb{R}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih realnih brojeva.)

Na ploči su zapisana dva prirodna broja. Dva igrača igraju igru naizmjence odigravajući poteze kojima mijenjaju brojeve na ploči.

Ako su na ploči u nekom trenutku brojevi $A$ i $B$ ($A \geq B$), igrač koji je na potezu odabire prirodni broj $k$ takav da je $A - kB \geq 0$, briše broj $A$ te umjesto njega zapisuje broj $A - kB$. Pobjeduje igrač koji na ploču napiše broj $0$.

Za koje sve vrijednosti omjera početna dva broja na ploči prvi igrač može pobijediti neovisno o igri drugog igrača?

Neka je $T$ točka unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ točke osnosimetrične točki $T$ u odnosu na pravce $BC$, $CA$ i $AB$, redom. Pravci $A_1T$, $B_1T$ i $C_1T$ sijeku kružnicu $k$ opisanu trokutu $A_1B_1C_1$ ponovno u točkama $A_2$, $B_2$ i $C_2$, redom.

Dokaži da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ sijeku u jednoj točki koja leži na kružnici $k$.

Dani su prirodan broj $m$ i prost broj $p$ takvi da je $p > m$. Dokaži da broj prirodnih brojeva $n$ za koje je $$m^2 + n^2 + p^2 - 2mn - 2mp - 2np$$ kvadrat nekog prirodnog broja ne ovisi o broju $p$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ takve da vrijedi $$f(x^2 (f(y))^2) = (f(x))^2 f(y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{Q}^+.$$

($\mathbb{Q}^+$ je oznaka za skup svih pozitivnih racionalnih brojeva.)

Je li moguće ploču dimenzija $1000 \times 1000$ prekriti koristeći isključivo likove prikazane na slikama:

postavljene upravo na taj način? Likove nije dozvoljeno rotirati niti zrcaliti. Trebaju biti postavljeni tako da prekrivaju točno tri odnosno pet polja ploče i ne smiju se preklapati.

Dirališta upisane kružnice trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su redom točke $D$ i $E$. Dirališta pripisane kružnice nasuprot vrha $A$ s pravcima $AB$ i $AC$ su redom točke $F$ i $G$.

Neka simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $DE$ u točkama $X$ i $Y$ redom te neka vanjske simetrale kutova $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle ACB$ sijeku pravac $FG$ u točkama $Z$ i $W$ redom.

Dokaži da je četverokut $XYZW$ tetivan.

Odredi sve brojeve $k \in \mathbb{N}$ takve da $$\frac{m + n}{m^2 - kmn + n^2}$$ nije složen prirodni broj ni za koji izbor $m, n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 2$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{(a - 1)^2}{b} + \frac{(b - 1)^2}{c} + \frac{(c - 1)^2}{a} \geqslant \frac{1}{4} \left( \frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} \right).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Dobra riječ je niz od $3n$ slova pri čemu se svako od slova $A$, $B$ i $C$ pojavljuje točno $n$ puta. Dokaži da za svaku dobru riječ $X$ postoji dobra riječ $Y$ takva da se $Y$ od $X$ ne može dobiti u manje od $\frac{3}{2}n^2$ zamjena susjednih slova.

Dana je kružnica $k$ sa središtem $O$. Neka je $\overline{AB}$ tetiva te kružnice i $M$ njeno polovište. Tangente na kružnicu $k$ u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $T$. Pravac $\ell$ prolazi točkom $T$, siječe kraći luk $\widehat{AB}$ u točki $C$, a dulji luk $\widehat{AB}$ u točki $D$ i pritom je $|BC| = |BM|$.

Dokaži da je središte kružnice opisane trokutu $ADM$ osnosimetrično točki $O$ u odnosu na pravac $AD$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje vrijedi

$$2^m = 7n^2 + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$, $y$ vrijedi

$$f(xf(y)) = (1 - y)f(xy) + x^2y^2f(y).$$

Neka je $n$ prirodni broj. Unutar kružnice nalaze se točke $A_1, A_2, \ldots, A_n$, a na kružnici točke $B_1, B_2, \ldots, B_n$ takve da su dužine $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$ u parovima disjunktne. Skakavac smije skočiti iz točke $A_i$ u točku $A_j$ (za $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, $i \neq j$) ako i samo ako dužina $\overline{A_iA_j}$ ne prolazi nijednom unutarnjom točkom dužina $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \ldots, \overline{A_nB_n}$.

Pokaži da skakavac nizom skokova može doći iz bilo koje točke $A_i$ u bilo koju točku $A_j$.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$. Točka $D$ je polovište kraćeg luka $\widehat{BC}$ njegove opisane kružnice. Točka $I$ je središte njegove upisane kružnice, a točka $J$ je osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $BC$. Pravac $DJ$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $E$ koja pripada luku $\widehat{AB}$.

Dokaži da vrijedi $|AI| = |IE|$.

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži da postoji prirodni broj $k$ takav da je broj

$$51^k - 17$$

djeljiv brojem $2^n$.

Neka su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi s realnim koeficijentima takvi da je

$$P(P(x)) = (Q(x))^2$$

za svaki realni broj $x$. Postoji li nužno polinom $R(x)$, također s realnim koeficijentima, takav da je $P(x) = (R(x))^2$ za svaki realni broj $x$?

Na slici je prikazan lanac sastavljen od $54$ jedinična kvadratića. Svaki kvadratić, osim dvaju rubnih, spojen je s dva susjedna u nasuprotnim vrhovima.

Svaki kvadratić smije se postaviti u bilo koji položaj u prostoru uz uvjet da ostane spojen sa susjednim kvadratićima u odgovarajućim vrhovima. Je li moguće taj lanac postaviti tako da tvori oplošje kocke dimenzija $3 \times 3 \times 3$?

Upisana kružnica trokuta $ABC$ ima središte $I$ te dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$, $F$. Neka je $k$ kružnica sa središtem $A$ koja prolazi kroz točku $E$. Drugo sjecište pravca $DE$ s kružnicom $k$ je točka $K$. Paralela s pravcem $DF$ kroz točku $I$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $P$. Točka $L$ je sjecište pravca $CP$ i kružnice $k$ takvo da se $P$ nalazi između točaka $C$ i $L$. Točka $O$ je središte opisane kružnice trokuta $DKL$.

Dokaži da su pravci $AI$ i $OD$ paralelni.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ za koje vrijedi:

Za bilo koje cijele brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n$, čiji zbroj nije djeljiv s $n$, postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da nijedan od $n$ brojeva

$$a_i, \quad a_i + a_{i+1}, \quad \ldots, \quad a_i + a_{i+1} + \cdots + a_{i+n-1}$$

nije djeljiv s $n$, pri čemu za $i > n$ definiramo $a_i = a_{i-n}$.

Neka su $n$, $k$, $M$ i $a_1, a_2, \ldots, a_n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = k \quad \text{i} \quad a_1a_2\cdots a_n = M.$$

Ako je $M > 1$, dokaži da ne postoji pozitivan realni broj $x$ takav da vrijedi

$$M(x + 1)^k = (x + a_1)(x + a_2)\cdots(x + a_n).$$

Neka je $a \geqslant 2018$ realni broj. U svakoj od $2018$ posuda nalazi se konačan broj kuglica, pri čemu je masa svake kuglice oblika $a^k$, gdje je $k \in \mathbb{Z}$. Ukupna masa kuglica u svakoj posudi je jednaka. Koliko se najmanje kuglica jednake mase pojavljuje među kuglicama u posudama?

Neka je $ABCD$ jednakokračni trapez s osnovicama $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$. Dijagonale trapeza sijeku se u točki $S$, a polovište stranice $\overline{AD}$ je točka $M$. Kružnica opisana trokutu $BCM$ ponovno siječe stranicu $\overline{AD}$ u točki $K$. Dokaži da su pravci $SK$ i $AB$ međusobno paralelni.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$ postoje prirodni brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_n$ takvi da je za sve $1 \leqslant i < j \leqslant n$

$$\frac{a_j + a_i}{a_j - a_i}$$

prirodan broj.

Odredi najmanji realni broj $C$ takav da je za sve pozitivne realne brojeve $a_1, a_2, a_3, a_4$ i $a_5$ moguće odabrati međusobno različite indekse $i, j, k, l$ tako da vrijedi

$$\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leqslant C.$$

Dokaži da je moguće svaki prirodni broj obojiti jednom od tri boje tako da sljedeća dva uvjeta budu zadovoljena:

i) Za svaki $n \in \mathbb{N}_0$, svi prirodni brojevi $x$ takvi da je $2^n \leqslant x < 2^{n+1}$ su iste boje.

ii) Ne postoje prirodni brojevi $x, y$ i $z$ iste boje (osim $x = y = z = 2$) takvi da vrijedi $x + y = z^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| < |BC|$. Točka $I$ je središte kružnice upisane tom trokutu. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $N$ polovište luka $\widehat{AC}$ opisane kružnice tog trokuta koji sadrži točku $B$. Dokaži da je

$$\measuredangle IMA = \measuredangle INB.$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$5m^3 = 27n^4 - 2n^2 + n.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$xf(x) - yf(y) = (x - y)(f(x + y) - xy).$$

U jednoj organizaciji postoje tri odbora. Svaka osoba pripada točno jednom odboru. Za svake dvije osobe koje pripadaju različitim odborima, u preostalom odboru postoji točno $10$ osoba koje te dvije osobe obje poznaju, te točno $10$ osoba koje nijedna od te dvije osobe ne poznaje. Poznanstva su uzajamna. Koliko je ukupno osoba u sva tri odbora zajedno?

Točka $M$ se nalazi u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Pravac $AM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $MBC$ još jednom u točki $D$, pravac $BM$ kružnicu opisanu trokutu $MCA$ još jednom u točki $E$, a pravac $CM$ kružnicu opisanu trokutu $MAB$ još jednom u točki $F$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{|AD|}{|MD|} + \frac{|BE|}{|ME|} + \frac{|CF|}{|MF|} \geqslant \frac{9}{2}.$$

Za prirodni broj $n$ neka $\tau(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ te neka $\tau_1(n)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $n$ koji daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$. Odredi sve moguće cjelobrojne vrijednosti razlomka

$$\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}.$$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi

$$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \geqslant \frac{5}{2}.$$

U nekom arhipelagu nalazi se $2017$ otoka nazvanih $1, 2, \ldots, 2017$. Dvije agencije, Crveni zmaj i Plavo oko, dogovaraju se oko rasporeda brodskih linija između pojedinih otoka. Za svaki par otoka, točno jedna agencija će organizirati brodsku liniju i to samo u smjeru od otoka nazvanog manjim brojem do otoka nazvanog većim brojem.

Raspored brodskih linija je dobar ako ne postoje dva otoka s oznakama $A < B$ takva da je s otoka $A$ na otok $B$ moguće doći koristeći samo brodove Crvenog zmaja, a također i koristeći samo brodove Plavog oka.

Odredi ukupan broj dobrih rasporeda brodskih linija.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| = |AC| > |BC|$ i neka je $I$ središte tom trokutu upisane kružnice. Pravac $BI$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$, a pravac točkom $D$ okomit na $AC$ siječe pravac $AI$ u točki $E$. Dokaži da se točka $J$, osnosimetrična točki $I$ u odnosu na pravac $AC$, nalazi na opisanoj kružnici trokuta $BDE$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takve da za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi

$$f(a) + f(b) - ab \mid af(a) + bf(b).$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi

$$\frac{3}{2} < \frac{4a + b}{a + 4b} + \frac{4b + c}{b + 4c} + \frac{4c + a}{c + 4a} < 9.$$

Ludi lovac je figura koja može biti okrenuta prema jednom od četiri dijagonalno susjedna polja i napada sva polja ravno ispred sebe te ravno lijevo i desno od sebe (poput šahovskog lovca koji ne vidi iza sebe). Za dva polja igraće ploče kažemo da su dijagonalno susjedna ako imaju točno jedan zajednički vrh.

Odredi najveći prirodni broj $N$ za koji je na igraću ploču $8 \times 8$ moguće postaviti $N$ ludih lovaca tako da nijedan od njih ne napada nekog od ostalih.

Neka je $\overline{AD}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$. Na pravcu $AD$ nalaze se međusobno različite točke $E$ i $F$ takve da vrijedi $|DE| = |DF|$ i pritom je točka $E$ u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $BEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $M$. Kružnica opisana trokutu $CEF$ siječe dužine $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $L$ i $N$.

Dokaži da se pravci $AD$, $KM$ i $LN$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da vrijedi

$$(n^2 + 2)^a = (2n - 1)^b.$$

Niz $a_1, a_2, \ldots$ pozitivnih realnih brojeva zadovoljava uvjet

$$a_{k+1} \geq \frac{ka_k}{a_k^2 + k - 1}$$

za svaki prirodni broj $k$. Dokaži da je

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n$$

za svaki $n \geq 2$.

U ravnini je dan skup $A$ koji sadrži $2016$ točaka tako da nikoje četiri točke iz skupa $A$ ne leže na istom pravcu. Dokaži da je moguće odabrati podskup $B \subset A$ koji sadrži barem $63$ točke tako da nikoje tri točke iz skupa $B$ ne leže na istom pravcu.

Zadan je tetivni četverokut $ABCD$ takav da se tangente u točkama $B$ i $D$ na njegovu opisanu kružnicu $k$ sijeku na pravcu $AC$. Točke $E$ i $F$ leže na kružnici $k$ tako da su pravci $AC$, $DE$ i $BF$ paralelni. Neka je $M$ sjecište pravaca $BE$ i $DF$. Ako su $P$, $Q$ i $R$ nožišta visina trokuta $ABC$, dokaži da točke $P$, $Q$, $R$ i $M$ leže na istoj kružnici.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da je $m > n$. Označimo

$$x_k = \frac{m + k}{n + k}$$

za $k = 1,2,\ldots,n+1$. Ako su svi brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ prirodni, dokaži da je broj

$$x_1x_2 \cdots x_{n+1} - 1$$

djeljiv nekim neparnim prostim brojem.

Dan je prirodni broj $n$. Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$ vrijedi nejednakost

$$\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leq \frac{(n+1)^2}{4n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right)^2.$$

Na ploči $N \times N$ ($N \geq 2$) dva su dijagonalno suprotna kutna polja obojana u crno, a sva ostala obojana su u bijelo. U jednom koraku odaberemo redak ili stupac i promijenimo boju svakom polju u tom retku ili stupcu iz crne u bijelu i obratno. Koji je najmanji dodatni broj polja koje na početku moramo obojati u crno kako bismo nakon konačnog broja opisanih koraka mogli dobiti ploču na kojoj su sva polja crna?

Pretpostavimo da je $P$ točka unutar trokuta $ABC$ takva da vrijedi

$$\frac{|AP| + |BP|}{|AB|} = \frac{|BP| + |CP|}{|BC|} = \frac{|CP| + |AP|}{|CA|}.$$

Neka pravci $AP, BP, CP$ ponovno sijeku trokutu $ABC$ opisanu kružnicu redom u točkama $A', B', C'$. Dokaži da trokuti $ABC$ i $A'B'C'$ imaju zajedničku upisanu kružnicu.

Odredi sve parove $(p, q)$ prostih prirodnih brojeva takve da vrijedi

$$p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3).$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2) + x f(y) = f(x) f(x + f(y)).$$

Dano je $N \geq 3$ točaka u ravnini takvih da nikoje tri ne leže na istom pravcu. Svaka dužina koja spaja dvije dane točke je obojana crvenom ili plavom bojom. Dokaži da postoji $N - 1$ dužina iste boje koje ne dijele ravninu na više od jednog dijela takve da se nikoje dvije ne sijeku osim u vrhovima.