Croatian Mathematical Olympiad

Točka $O$ je središte kružnice opisane šiljastokutnom trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ redom su odabrane na dužinama $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ tako da je $|BE| = |OF|$. Ako su $M$ i $N$ redom polovišta kružnih lukova $\widehat{EOA}$ i $\widehat{AOF}$, dokaži da je $\measuredangle ENO + \measuredangle OMF = 2\measuredangle BAC$.

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dana je funkcija $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takva da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f (x f (y)) + f (x ^ {2}) = f (x) (x + f (y))$$

te da je $f(2) = 3$. Odredi $f(2^{2016})$.

Može li se ploča $12 \times 12$ popločati L-trominima tako da svaki redak i svaki stupac siječe isti broj tromina?

L-tromino se sastoji od tri jedinična kvadrata koja se ne nalaze u istom stupcu ili retku.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Polupravci $AD$ i $BC$ sijeku se u točki $P$. U unutrašnjosti trokuta $DCP$ dana je točka $M$ takva da pravac $PM$ raspolavlja kut $\measuredangle CMD$. Pravac $CM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $DMP$ ponovno u točki $Q$, a pravac $DM$ siječe kružnicu opisanu trokutu $CMP$ ponovno u točki $R$.

a) Dokaži da dužine $\overline{CQ}$ i $\overline{DR}$ imaju jednaku duljinu.

b) Dokaži da trokuti $PAQ$ i $PBR$ imaju jednaku površinu.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da vrijedi

$$3 \cdot 5 ^ {m} - 2 \cdot 6 ^ {n} = 3.$$

Neka $m$ prirodni broj. Dano je $2^{m}$ papira i na svakom od njih napisan je broj $1$. U svakom potezu dozvoljeno je izabrati dva različita papira, pobrisati brojeve $a$ i $b$ koji pišu na tim papirima te na oba papira napisati broj $a + b$.

Dokaži da nakon $2^{m-1}m$ poteza zbroj brojeva na svim papirima iznosi najmanje $4^{m}$.

Čarobna triangulacija je podjela trokuta na manje trokute konačnim brojem dužina čiji su krajevi vrhovi trokuta ili točke u njegovoj unutrašnjosti, pri čemu se u svakoj od tih točaka (uključujući vrhove trokuta) sastaje jednak broj dužina.

Na koliko najviše manjih trokuta trokut može biti podijeljen čarobnom triangulacijom?

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $M$ i $N$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $A$ i $C$, a kružnicu $k_2$ u točkama $B$ i $D$ tako da se točke $A$, $B$, $C$ i $D$ na pravcu $l$ nalaze u tom poretku. Neka je $X$ točka na pravcu $MN$ takva da se točka $M$ nalazi između točaka $X$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravaca $AX$ i $BM$, a $Q$ sjecište pravaca $DX$ i $CM$.

Ako je $K$ polovište dužine $\overline{AD}$, a $L$ polovište dužine $\overline{BC}$, dokaži da se pravci $XK$ i $ML$ sijeku na pravcu $PQ$.

Dokaži da niz $$a_k = \left\lfloor \frac{2^k}{k} \right\rfloor, \quad k \in \mathbb{N}$$ sadrži beskonačno mnogo neparnih brojeva.

($\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $x$, $y$, $z$ vrijedi nejednakost $$\frac{x^2}{xy + z} + \frac{y^2}{yz + x} + \frac{z^2}{zx + y} \geqslant \frac{(x + y + z)^3}{3[x^2(y + 1) + y^2(z + 1) + z^2(x + 1)]}.$$

Dan je prirodni broj $N$. U svakom polju tablice $N \times N$ na početku je upisana nula. U svakom potezu dozvoljeno je odabrati redak ili stupac, obrisati sve brojeve koji se nalaze u njemu i upisati brojeve od $1$ do $N$ proizvoljnim redom. Koliko maksimalno može iznositi zbroj svih brojeva u tablici?

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| > |BC|$, a točke $A_1$ i $C_1$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $C$. Neka je $D$ drugo sjecište kružnica opisanih trokutima $ABC$ i $A_1BC_1$ (različito od $B$). Neka je $Z$ sjecište tangenata na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $A$ i $C$, te neka se pravci $ZA$ i $A_1C_1$ sijeku u točki $X$, a pravci $ZC$ i $A_1C_1$ u točki $Y$.

Dokaži da točka $D$ leži na kružnici opisanoj trokutu $XYZ$.

Neka je $n \geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p - 1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p - 3$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f(f(x))(x - f(y)) + 2xy = f(x)f(x + y), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb{R}.$$

U nekoj državi je $N$ gradova, među nekima postoje (dvosmjerne) avionske linije. Svaki let povezuje točno dva grada. Nijedan grad nije povezan izravnim letovima sa svim ostalim gradovima. Poznato je da za svaka dva grada $A$ i $B$ postoji točno jedan način da se dođe iz $A$ u $B$ koristeći najviše dva leta. Dokaži da je $N - 1$ kvadrat prirodnog broja.

U četverokutu $ABCD$ je $\measuredangle DAB = 110^\circ$, $\measuredangle ABC = 50^\circ$, $\measuredangle BCD = 70^\circ$. Neka su $M$ i $N$ polovišta dužina $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom. Za točku $P$ na dužini $\overline{MN}$ vrijedi $|AM| : |CN| = |MP| : |NP|$ i $|AP| = |CP|$. Odredi veličinu $\measuredangle APC$.

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je broj $4a^2 + 9b^2 - 1$ djeljiv brojem $n$.

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi $$f (x f (x) + f (x y)) = f \left(x ^ {2}\right) + y f (x), \quad \text{za sve } x, y \in \mathbb {R}.$$

U konveksnom $N$-terokutu nacrtane su neke dijagonale. Za nacrtanu dijagonalu kažemo da je dobra ako se siječe s točno jednom od ostalih nacrtanih dijagonala (vrhove ne ubrajamo u sjecišta). Odredi najveći mogući broj dobrih dijagonala.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a točka $D$ na stranici $\overline{AC}$ takva da je $|AB| = |DB|$. Upisana kružnica trokuta $BCD$ dodiruje pravce $AC$ i $BD$ redom u točkama $E$ i $F$. Dokaži da pravac $EF$ raspolavlja dužinu $\overline{DI}$.

Odredi sve prirodne brojeve $x$ i $y$ takve da vrijedi $$x(x^2 + 19) = y(y^2 - 10).$$

Dan je realni broj $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$. Dokaži da za pozitivne realne brojeve $x, y, z$ vrijedi nejednakost: $$x(x - y)(\alpha x - y) + y(y - z)(\alpha y - z) + z(z - x)(\alpha z - x) \geqslant 0.$$

Dan je prirodni broj $M \geqslant 3$. Kažemo da je pravilni mnogokut sjajno obojan ako su sve njegove stranice i dijagonale obojane u točno $M$ boja tako da ne postoje tri vrha tog mnogokuta koja određuju trokut čije su stranice obojane u točno dvije boje.

Neka je $N$ najveći prirodni broj takav da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $N$ vrhova.

a) Dokaži da je $N \leqslant (M - 1)^2$.

b) Ako je $M - 1$ prosti broj, dokaži da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $(M - 1)^2$ vrhova.

Dan je trokut $ABC$ u kojem je $|AB| > |AC|$. Neka je $P$ polovište stranice $\overline{BC}$, a $S$ točka u kojoj simetrala kuta $\measuredangle BAC$ sijeće tu stranicu. Paralela s pravcem $AS$ kroz točku $P$ sijeće pravce $AB$ i $AC$ redom u točkama $X$ i $Y$. Neka je $Z$ točka takva da je $Y$ polovište dužine $\overline{XZ}$ te neka se pravci $BY$ i $CZ$ sijeku u točki $D$.

Dokaži da je simetrala kuta $\measuredangle BDC$ paralelna s pravcem $AS$.

Odredi sve parove $(p,q)$ prostih brojeva za koje je broj $$p^{q+1} + q^{p+1}$$ potpuni kvadrat.

Neka je $\alpha$ realni broj. Nađi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve $x,y\in \mathbb{R}$ vrijedi: $$f(x + \alpha + f(y)) = f(f(x)) + f(\alpha) + y.$$

Neka je $N \geqslant 3$ neparni prirodni broj. Na početku se u svakom polju tablice $N \times N$ nalazi broj $0$. U pojedinom potezu biraju se dva polja koja imaju zajedničku stranicu i zatim se oba broja u tim poljima povećaju za $1$ ili se oba broja smanje za $1$.

Ako su nakon $K$ poteza zbrojevi brojeva u svakom retku i svakom stupcu tablice međusobno jednaki, dokaži da je $K$ paran broj.

Neka je točka $I$ središte upisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$. Polupravci $AI$ i $BI$ sijeku opisanu kružnicu $k$ trokuta $ABC$ u točkama $D$ i $E$ redom. Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{CA}$ sijeku se u točki $F$, pravac kroz točku $E$ paralelan s pravcem $FI$ siječe kružnicu $k$ još u točki $G$, a pravci $FI$ i $DG$ sijeku se u točki $H$.

Dokaži da pravci $CA$ i $BH$ dodiruju opisanu kružnicu trokuta $DFH$ u točkama $F$ i $H$ redom.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da je najveći prosti djelitelj broja $n^4 + n^2 + 1$ jednak najvećem prostom djelitelju broja $(n + 1)^4 + (n + 1)^2 + 1$.

Dokaži da za svaki $x \in \left[\frac{1}{111}, \frac{110}{111}\right]$ možemo odabrati brojeve $a_i \in \{-1, 1\}$, $i = 1, 2, \ldots, 101$ takve da je $$\left|x_{101} - x\right| \leqslant \frac{1}{402},$$ pri čemu je $$x_0 = 1, \quad x_k = (x_{k-1} + 1)^{a_k}, \quad \text{za} \quad k = 1, 2, \ldots, 101.$$

Neka je $N$ prirodni broj. Stepenicama zovemo dio kvadratne ploče dimenzija $N \times N$ koji se sastoji od prvih $K$ polja u $K$-tom retku za $K = 1, 2, \ldots, N$. Na koliko je načina moguće razrezati stepenice na pravokutnike različitih površina koji se sastoje od polja dane ploče?

U šiljastokutnom trokutu $ABC$, u kojem je $|AC| < |BC|$, točke $M$ i $N$ su redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$. Kružnica sa središtem $O$ opisana trokutu $ABC$ i kružnica sa središtem $S$ opisana trokutu $MNC$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Ako je točka $P$ polovište dužine $\overline{AB}$, dokaži da točke $P, O, S$ i $D$ leže na istoj kružnici.

Neka je $n$ neparan prirodni broj veći od $3$. Označimo sa $k$ najmanji prirodni broj takav da je $kn + 1$ potpuni kvadrat i označimo sa $l$ najmanji prirodni broj takav da je $ln$ potpuni kvadrat.

Dokaži da je broj $n$ prost ako i samo ako vrijedi $k > \frac{1}{4}n$ i $l > \frac{1}{4}n$.

Za dani prirodni broj $n$ nađi najmanji prirodni broj $k$ sa sljedećim svojstvom:

Ako su $a_1, a_2, \ldots, a_d$ realni brojevi, $0 \leqslant a_i \leqslant 1$, $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$, tada je moguće rasporediti tih $d$ brojeva u $k$ grupa tako da je zbroj brojeva u svakoj grupi najviše $1$ (neke grupe mogu biti prazne).

Dvadesetoro djece ima $100$ vrpci. Svaku vrpcu drže za krajeve dva djeteta. Dva djeteta mogu zajedno držati samo jednu vrpcu. Pretpostavimo da je par vrpci čija četiri kraja drže različita djeca moguće odabrati na $4050$ načina. Dokaži da svako dijete drži jednak broj vrpci.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$. Neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $N$ nožište visine iz vrha $B$, a $P$ polovište dužine $\overline{AB}$. Kružnice opisane trokutima $ABC$ i $CHN$ sijeku se u točkama $C$ i $D$. Dokaži da točke $B$, $D$, $N$ i $P$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.

Za prirodni broj $n \geqslant 2$, neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi različiti od nule takvi da je $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$. Dokaži da postoje različiti prirodni brojevi $i$ i $j$ ($i, j \leqslant n$) takvi da je

$$\frac{1}{2} \leqslant \left| \frac{x_i}{x_j} \right| \leqslant 2.$$

Na kružnicu stavljamo crvene i plave kuglice. Na početku se na kružnici nalaze samo dvije crvene kuglice. Dozvoljeni su sljedeći potezi:

i) dodati jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica (crvenu u plavu i obratno);

ii) maknuti jednu crvenu kuglicu i promijeniti boju svake od dviju njoj susjednih kuglica.

Možemo li nizom takvih poteza postići da na kružnici bude

a) $2013$ crvenih i $2013$ plavih kuglica;

b) samo dvije plave kuglice?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Neka je $D$ točka takva da je četverokut $AHCD$ paralelogram. Neka je $p$ okomica na pravac $AB$ kroz polovište $A_1$ stranice $\overline{BC}$. Označimo sjecište pravaca $p$ i $AB$ s $E$, a polovište dužine $\overline{A_1E}$ s $F$. Točku u kojoj paralela s pravcem $BD$ kroz točku $A$ siječe $p$ označimo s $G$. Dokaži da je četverokut $AFA_1C$ tetivan ako i samo ako pravac $BF$ prolazi polovištem dužine $\overline{CG}$.

Nađi sve prirodne brojeve $a$ i $b$ takve da

$$(a^2 + b) \mid (a^2b + a) \quad \text{i} \quad (b^2 - a) \mid (ab^2 + b).$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $f(1) \geqslant 0$ i da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) - f(y) \geqslant (x - y)f(x - y).$$

Neka su $m$, $n$ i $k$ prirodni brojevi i neka su $p_1, p_2, \ldots, p_n$ brojevi $1, 2, \ldots, n$ u nekom poretku. Ako za svaki $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ vrijedi

$$k \mid (m + p_i - i),$$

dokaži da je barem jedan od brojeva $m$ i $n$ višekratnik broja $k$.

U trokutu $ABC$ kut pri vrhu $B$ iznosi $120°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ redom točke na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, takve da su $AA_1, BB_1, CC_1$ simetrale kutova trokuta $ABC$. Odredi kut $\measuredangle A_1B_1C_1$.

Za skup $A \subseteq \mathbb{Z}$ kažemo da je prihvatljiv ako za svaka dva (ne nužno različita) broja $x, y \in A$ i za svaki $k \in \mathbb{Z}$ vrijedi $x^2 + kxy + y^2 \in A$.

Nađi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva različitih od nule za koje je $\mathbb{Z}$ jedini prihvatljivi skup koji sadrži $m$ i $n$.

($\mathbb{Z}$ je skup svih cijelih brojeva.)

U ovisnosti o prirodnom broju $k$, odredi najmanji realni broj $D_k$ takav da je

$$(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 \leqslant D_k$$

za sve nenegativne realne brojeve $a, b, c, d$ za koje je $a^k + b^k + c^k + d^k = 4$.

Dani su prirodni brojevi $N$ i $K$. Neki broj učenika je raspoređen u $N$ nepraznih grupa, a zatim su ti isti učenici preraspoređeni u $N + K$ nepraznih grupa. Dokaži da se u drugom rasporedu barem $K + 1$ učenika našlo u manjoj grupi od one u kojoj su bili u prvom rasporedu.

Dan je jednakokračni trokut $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $P$ na stranici $\overline{AC}$ i točka $Q$ na stranici $\overline{BC}$ odabrane su tako da je $|AP| + |BQ| = |PQ|$. Paralela s pravcem $BC$ kroz polovište dužine $\overline{PQ}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $N$. Kružnica opisana trokutu $PNQ$ siječe pravac $AC$ u točkama $P$ i $K$, a pravac $BC$ u točkama $Q$ i $L$. Ako je točka $R$ sjecište pravaca $PL$ i $QK$, dokaži da je pravac $PQ$ okomit na pravac $CR$.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ koji imaju više od dva različita prosta djelitelja i za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.