Croatian Mathematical Olympiad

Neka su $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$.

Dokaži nejednakost:

$$\frac{a_1^3}{a_1^2 + a_2 a_3} + \frac{a_2^3}{a_2^2 + a_3 a_4} + \cdots + \frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2 + a_n a_1} + \frac{a_n^3}{a_n^2 + a_1 a_2} \geqslant \frac{1}{2}.$$

Grupa ljudi različitih visina pleše mađarski narodni ples na otvaranju natjecanja MEMO 2013 u Veszprému. Kažemo da je čovjek prosječan ako je viši od jednog svog susjeda i niži od drugog. (Ljudi su raspoređeni u krug i svaki čovjek ima točno dva susjeda.)

Ako je ukupan broj ljudi $N$, odredi sve moguće vrijednosti broja prosječnih ljudi.

Točka $N$ je nožište visine na hipotenuzu $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$. Simetrale kutova $\measuredangle NCA$ i $\measuredangle BCN$ sijeku dužinu $\overline{AB}$ redom u točkama $K$ i $L$. Ako su $S$ i $T$ redom središta kružnica upisanih trokutima $BCN$ i $NCA$, dokaži da je četverokut $KLST$ tetivan.

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje je $2^n - 8$ djeljivo s $n$.

Dani su pozitivni realni brojevi $x$, $y$ i $z$ takvi da je $x + y + z = 18xyz$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 2yz + 1}} + \frac{y}{\sqrt{y^2 + 2xz + 1}} + \frac{z}{\sqrt{z^2 + 2xy + 1}} \geqslant 1.$$

Svakom vrhu pravilnog mnogokuta pridružen je jedan od brojeva $0$ ili $1$. Koristeći dijagonale koje se međusobno ne sijeku osim u vrhovima, Rudi dijeli mnogokut na trokute, a zatim u svaki trokut upisuje zbroj brojeva pridruženih njegovim vrhovima. Dokaži da Rudi može odabrati dijagonale kojima će podijeliti mnogokut tako da se najveći i najmanji od brojeva upisanih u dobivene trokute razlikuju za najviše $1$.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da je $|AD| = |BD|$ i neka je $M$ sjecište njegovih dijagonala. Nadalje, neka je $N$ drugo sjecište dijagonale $\overline{AC}$ s kružnicom koja prolazi točkama $B$, $M$ i središtem kružnice upisane trokutu $BCM$.

Dokaži da vrijedi $|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|$.

Postoje li cijeli brojevi $a$ i $b$ takvi da su oba broja $a + b$ i $a \cdot b - 1$ potpuni kvadrati?

Zadan je niz realnih brojeva: $$x_0 = 1,$$ $$x_1 = 1,$$ $$x_n = \sqrt{\frac{n}{2} + x_{n-1}x_{n-2}}, \quad \text{za } n \geqslant 2.$$

Postoji li realni broj $A$ takav da je $An < x_n < An + 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$?

U državi postoji $g$ gradova i $c$ cesta, pri čemu svaka cesta povezuje točno dva različita grada, a između dva grada postoji najviše jedna cesta. Ceste su označene brojevima $1, 2, \ldots, c$. Tonći svoje putovanje mora proći tako da kad zapiše oznake cesta redom kojim ih je prolazio dobije (strogo) rastući niz brojeva. Dokaži da postoji grad takav da krenuvši iz toga grada Tonći može proći barem $\dfrac{2c}{g}$ cesta.

Neka su točke $M$ i $N$ redom dirališta upisane kružnice raznostraničnog trokuta $ABC$ sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{CA}$, a točke $P$ i $Q$ redom dirališta pripisanih kružnica nasuprot vrhova $B$ i $C$ s pravcem $BC$. Dokaži da je četverokut $MNPQ$ tetivan ako i samo ako je trokut $ABC$ pravokutan s pravim kutom pri vrhu $A$.

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x^2 + f(y)) = (f(x) + y^2)^2.$$

Uz obalu nekog otoka nalazi se $20$ sela. U svakom selu živi $20$ boraca. Svaki od boraca bori se sa svim borcima iz ostalih sela. Svaka dva borca imaju različitu snagu i borac koji je snažniji pobjeduje u borbi. Kažemo da je selo $A$ nadvladalo selo $B$ ako je u barem $k$ borbi između boraca iz $A$ i boraca iz $B$ pobijedio borac iz $A$. Nakon svih borbi ustanovljeno je da je svako selo nadvladalo selo koje mu je neposredni susjed u smjeru kazaljke na satu.

Dokaži da najveći mogući $k$ iznosi $290$.

Trapez $ABCD$ s duljom osnovicom $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu $k$. Neka su $A_0$, $B_0$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$ na $AB$, a $G$ težište trokuta $ABC$. Kružnica $k_1$ prolazi točkama $A_0$ i $B_0$ te dodiruje kružnicu $k$ u točki $X$, različitoj od $C$. Dokaži da su točke $D$, $G$, $N$ i $X$ kolinearne.

Za dani prirodni broj $k$ neka je $S(k)$ zbroj svih brojeva iz skupa $\{1,2,\ldots,k\}$ koji su relativno prosti s $k$. Neka je $m$ prirodni i $n$ neparni prirodni broj. Dokaži da postoje prirodni brojevi $x$ i $y$, pri čemu $m$ dijeli $x$, takvi da vrijedi $2S(x) = y^n$.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(y + f(x)) - f(x + f(y)) = f(x - y)(f(x + y) - 1).$$

Neka je $A$ sedmeročlani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,26\}$. Dokaži da postoje dva različita neprazna podskupa od $A$ takva da su zbrojevi njihovih elemenata jednaki.

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c = 3$ vrijedi $$\frac{a^2}{a + b^2} + \frac{b^2}{b + c^2} + \frac{c^2}{c + a^2} \geq \frac{3}{2}.$$

Na nekoj zabavi među bilo koje četiri osobe postoje tri koje se sve međusobno poznaju ili postoje tri koje se međusobno ne poznaju. Poznanstva su uzajamna. Dokaži da se svi sudionici te zabave mogu smjestiti u dvije prostorije tako da se u jednoj prostoriji svi međusobno poznaju, a u drugoj nitko nikoga ne poznaje.

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $OT \perp AT$. Neka je $A'$ drugo sjecište pravca $AT$ i kružnice opisane trokutu $ABC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $BA'$ i $AC$, a točka $E$ sjecište pravaca $CA'$ i $AB$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ADE$ leži na opisanoj kružnici trokuta $ABC$.

Neka su $a$ i $b$ relativno prosti prirodni brojevi različiti od $1$. Definiran je niz $$x_1 = a, \qquad x_2 = b, \qquad x_n = \frac{x_{n-1}^2 + x_{n-2}^2}{x_{n-1} + x_{n-2}} \quad \text{za } n \geq 3.$$

Dokaži da niti jedan član $x_n$ ovog niza, osim prva dva, nije prirodni broj.

Za prirodni broj $d$ definiran je niz $$a_0 = 1, \qquad a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2}, & \text{ako je } a_n \text{ paran}, \\ a_n + d, & \text{inače}. \end{cases}$$

Za koje vrijednosti broja $d$ postoji prirodni broj $n$ za koji je $a_n = 1$?

Dani su prirodni brojevi $M$ i $N$. Promatramo $N^2$ žarulja raspoređenih u tablicu s $N$ redaka i $N$ stupaca. Svaka žarulja može biti uključena ili isključena, a na početku su sve žarulje isključene.

Potez se sastoji od odabira bilo kojih $M$ uzastopnih žarulja u nekom retku ili stupcu te mijenjanja njihovog stanja, tako da svaka od odabranih $M$ žarulja koja je prije bila isključena, nakon poteza bude uključena, i obratno.

Ako je konačnim brojem poteza moguće postići da sve žarulje budu uključene, dokaži da je broj $M$ djelitelj broja $N$.

Na polukružnici s promjerom $\overline{AB}$ dane su točke $K$ i $L$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe dužinu $\overline{KL}$ u točki $U$ i pritom su točke $A$ i $K$ s jedne strane te simetrale, a $B$ i $L$ s druge. Neka je $N$ nožište okomice iz sjecišta pravaca $AK$ i $BL$ na pravac $AB$, a $V$ točka na pravcu $KL$ takva da je $\measuredangle VAU = \measuredangle VBU$.

Dokaži da su pravci $NV$ i $KL$ međusobno okomiti.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$x^3 + x^2 + x = y^2 + y.$$

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ takve da za sve $a, b \in \mathbb{Z}$ vrijedi: $$f(f(a) + f(b)) = a + b - 1.$$

Svaka strana i svaka dijagonala nekog konveksnog $n$-terokuta obojana je u neku od $k$ boja. Poznato je da ne postoji jednobojna zatvorena izlomljena linija kojoj su vrhovi također i vrhovi danog mnogokuta. Kolika je najveća moguća vrijednost broja $n$?

Neka je $k$ upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ sa središtem u točki $I$, a $k_c$ pripisana kružnica istog trokuta nasuprot kuta $\angle BCA$. Ako je točka $D$ diralište stranice $\overline{AB}$ i kružnice $k_c$, a točka $S$ sjecište pravca $DI$ s kružnicom $k_c$ (različito od točke $D$), dokaži da je pravac $DI$ simetrala kuta $\angle ASB$.

Nađi (jedan) cijeli broj $a$ takav da za polinom $P(x) = x^5 + ax$ tvrdnja $$\text{ako } n \mid P(k) - P(l) \text{ onda } n \mid k - l, \text{ za sve } k, l \in \mathbb{Z}$$ vrijedi samo za konačno mnogo prirodnih brojeva $n$, među kojima je i $n = 95$.

Odredi sve nizove $a: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $n \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$a_n + a_{n+1} = a_{n+2}a_{n+3} - 200.$$

Neka je $n \geq 3$ prirodan broj. Odredi minimalni broj točaka koje treba označiti unutar bilo kojeg konveksnog $n$-terokuta tako da svaki trokut kojem su vrhovi ujedno vrhovi tog $n$-terokuta sadrži u svojoj unutrašnjosti barem jednu označenu točku.

Unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ dana je točka $S$ takva da je $\measuredangle SAB = \measuredangle SBC = \measuredangle SCA$. Pravci $AS$, $BS$, $CS$ sijeku redom kružnice opisane trokutima $SBC$, $SCA$, $SAB$ u točkama $A_1$, $B_1$, $C_1$. Dokaži nejednakost $$P(A_1CB) + P(B_1AC) + P(C_1BA) \geq 3P(ABC).$$

Za prirodan broj $n$ promatramo skup $$S = \{0, 1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3 + \dots + (n-1)\}.$$

a) Ako je $n$ potencija broja $2$, dokaži da svi elementi od $S$ daju različite ostatke pri dijeljenju s $n$.

b) Ako $n$ nije potencija broja $2$, dokaži da postoje dva elementa od $S$ koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$.

Postoji li funkcija $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ za koju vrijedi

$$f(f(n)) = f(n + 1) - f(n)$$

za svaki $n \in \mathbb{N}$?

Dan je pravokutni trokut i konačan skup točaka u njemu. Dokaži da se ove točke mogu povezati izlomljenom linijom (ne nužno zatvorenom) tako da je suma kvadrata duljina segmenata izlomljene linije manja ili jednaka kvadratu duljine hipotenuze danog trokuta.

Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$. Neka su $E$ i $F$ točke na dužinama $\overline{BD}$ i $\overline{BC}$ redom, takve da je $\measuredangle BAE = \measuredangle CAF$. Neka su $P$ i $Q$ točke na dužinama $\overline{BC}$ i $\overline{BD}$ redom, takve da je $EP \parallel CD$ i $FQ \parallel CD$. Dokaži da je $\measuredangle BAP = \measuredangle CAQ$.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $a$ najveći prirodni broj za koji je broj $5^n - 3^n$ djeljiv s $2^a$, te neka je $b$ najveći prirodni broj takav da je $2^b \leqslant n$. Dokaži da je $a \leqslant b + 3$.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj i neka su $x_1, x_2, \ldots, x_n$ realni brojevi takvi da je

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n \geqslant n \quad \text{i} \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \geqslant n^2.$$

Dokaži da postoji $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ takav da je $x_i \geqslant 2$.

U svakom vrhu pravilnog $n$-terokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se određeni broj novčića: u vrhu $A_k$ nalazi se točno $k$ novčića, za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$. U svakom koraku radimo sljedeću transformaciju: odabiremo dva novčića (ne nužno iz istog vrha) i prebacujemo svakog od njih u susjedni vrh, tako da jednog pomičemo u smjeru kretanja kazaljke na satu, a drugog u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu.

Odredi za koje brojeve $n$ je moguće postići da nakon konačnog broja koraka za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$ u vrhu $A_k$ bude točno $n + 1 - k$ novčića.

Zadan je šiljastokutni trokut $ABC$. Neka su točke $B'$ i $C'$ simetrične točkama $B$ i $C$ u odnosu na pravce $AC$ i $AB$ redom. Ako se kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku još u točki $P$, dokaži da pravac $AP$ prolazi središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da ne postoji beskonačni niz prostih brojeva $p_0, p_1, p_2, \ldots$ takav da za svaki prirodni broj $k$ vrijedi

$$p_k = 2p_{k-1} + 1 \quad \text{ili} \quad p_k = 2p_{k-1} - 1.$$

Odredi najmanji realni broj $D$ takav da nejednakost

$$\frac{a + b}{a + 2b} + \frac{b + c}{b + 2c} + \frac{c + a}{c + 2a} < D$$

vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$.

Neka polja pravokutne ploče $n \times m$ ($n, m \geqslant 2$) obojana su crnom bojom, dok su ostala polja bijela. Izvan ploče nalazi se žaba koja u jednom trenutku skoči na neko rubno polje ploče, a zatim radi niz skokova, skačući svaki put na neko od susjednih polja. (Za dva polja kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu.) Svaki put kad žaba doskoči na neko polje, boja tog polja se mijenja, iz bijele u crnu ili obratno.

Postoji li put kojim žaba može proći i napustiti ploču skočivši s rubnog polja tako da nakon toga sva polja budu crne boje?

Neka je $ABC$ trokut u kojem je $|AB| < |CA| < |BC|$ i neka su $D$ i $E$ redom točke na polupravcima $BA$ i $BC$ takve da je $|BD| = |BE| = |AC|$. Opisana kružnica trokuta $BDE$ siječe dužinu $\overline{AC}$ u točki $P$, a pravac $BP$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točki $Q$ ($Q \neq B$). Dokaži da je $|AQ| + |QC| = |BP|$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Dokaži da jednadžba

$$(x + 1)^n - x^n = ny$$

nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da je

$$\frac{a^4}{b^2 + c} + \frac{b^4}{c^2 + a} + \frac{c^4}{a^2 + b} \geqslant \frac{3}{2}.$$

Na svakom polju ploče $n \times n$ ($n \geqslant 2$) nalazi se žarulja koja može biti upaljena ili ugašena.

U svakom koraku biramo jedan kvadrat $2 \times 2$ na toj ploči i unutar njega sve upaljene žarulje ugasimo, a ugašene upalimo. Za raspored upaljenih žarulja kažemo da je dobar ako se može postići da, počevši od njega, nakon konačno mnogo koraka, sve žarulje budu ugašene.

a) Dokaži da raspored prikazan na slici nije dobar. (Prikazan je položaj svih upaljenih žarulja na ploči $10 \times 10$.)

b) Koliko bi, u tom primjeru, minimalno dodatnih žarulja na početku trebalo upaliti da raspored bude dobar?

c) Odredi broj svih mogućih dobrih početnih rasporeda za $n \times n$ ploču.