Croatian Mathematical Olympiad

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u kojem je $|BC| > |AC|$, te neka je $N$ nožište okomice iz točke $A$ na dužinu $\overline{CM}$. Neka je $P$ točka na pravcu $AN$ takva da je $PB$ okomito na $CB$.

Ako vrijedi $\measuredangle CPB = \measuredangle CBA$, dokaži da je $\measuredangle BAC = 90°$.

Leon ima $99$ praznih vreća i za svaki cijeli broj $n$ neograničenu količinu kuglica mase $3^n$.

Leon je rasporedio u vreće konačno mnogo kuglica tako da nijedna vreća ne bude prazna i da masa kuglica u svakoj vreći bude ista. Pritom nije iskoristio više od $k$ kuglica iste mase. Koja je najmanja moguća vrijednost $k$?

Niz prirodnih brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ u kojem je $a_1 > 1$ zadovoljava relaciju

$$a_{n+1} = a_n + p^n \quad \text{za } n \in \mathbb{N},$$

pri čemu je $p = 2$ ako je $a_n$ potencija broja $2$, a inače je $p$ najmanji neparan prosti djelitelj broja $a_n$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo parova prirodnih brojeva $(m,n)$ uz $m \neq n$ takvih da $a_m$ dijeli $a_n$.

Dokaži da u svakom aritmetičkom nizu prirodnih brojeva postoji beskonačno mnogo članova koji su djelitelji umnoška svih prethodnih članova.

Napomena. Za niz brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kažemo da je aritmetički ako je $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ za svaki prirodan broj $n \geq 2$.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da za svaki prirodan broj $n$ postoji prirodan broj $m$ takav da vrijedi

$$P(n + 1) = P(n) + P(m).$$

Neka je $I$ središte upisane kružnice, $O$ središte opisane kružnice te $H$ ortocentar trokuta $ABC$ u kojem je kut $\measuredangle CBA$ manji od kuta $\measuredangle ACB$. Upisana kružnica dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Pretpostavimo da su pravci $AO$ i $HD$ paralelni. Neka se pravci $OD$ i $AH$ sijeku u točki $E$ i neka je $F$ polovište dužine $\overline{CI}$. Dokaži:

a) Pravci $OI$ i $BC$ su paralelni.

b) Točke $E$, $F$, $I$ i $O$ pripadaju istoj kružnici.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da za sve $m,n \in \mathbb{N}$ vrijedi nejednakost

$$m^{f(n)} - n^{f(m)} \leq mn.$$

Neka je $ABCD$ tetivan četverokut takav da je $|AB| = |AD|$. Točke $M$ i $N$ nalaze se redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ i pritom je $|BM| + |DN| = |MN|$. Dokaži da središte opisane kružnice trokuta $AMN$ pripada pravcu $AC$.

Neka je $n$ prirodan broj. Na nogometnom turniru sudjeluje $2n + 1$ ekipa, a svake dvije ekipe međusobno igraju po jednu utakmicu. Sve se utakmice igraju na istom terenu, pa nije moguće da se dvije utakmice igraju istovremeno. Nikakvih drugih pravila o redoslijedu odigravanja utakmica nema.

Kažemo da je utakmica između dviju ekipa ravnopravna ako su obje ekipe do tada odigrale jednak broj utakmica. Koliko najviše ravnopravnih utakmica može biti odigrano na tom turniru?

Na nekim poljima ploče dimenzija $300 \times 300$ postavljene su kule, figure koje kontroliraju sva polja u svom stupcu i retku. Kule su raspoređene tako da svako polje ploče kontrolira barem jedna kula, a svaka kula kontrolira najviše jedno polje na kojem je neka druga kula. Odredi najmanji prirodni broj $k$ takav da se u svakom kvadratu dimenzija $k \times k$ sigurno nalazi barem jedna kula.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da je $2n \leq m$ i

$$m! + n! \mid (m + n)!$$

Za realan broj kažemo da je velik ako mu je apsolutna vrijednost veća ili jednaka $1$. Za svaki prirodan broj $m$, odredi najveći realan broj $C_m$ takav da za bilo kojih $m$ velikih brojeva $a_1, a_2, \ldots, a_m$ vrijedi

$$a_1^2 + (a_1 + a_2)^2 + \ldots + (a_1 + a_2 + \ldots + a_m)^2 \geq C_m.$$

Neka je $S = \{n \in \mathbb{N} : n \geq 2024\}$.

Odredi sve funkcije $f: S \to \mathbb{N}$ takve da za sve $m, n \in S$ vrijedi

$$2m(f(m) + f(n)) = \sum_{k=0}^{f(m)} f(n + k).$$

Antun i Bernarda igraju igru u kojoj naizmijence biraju uređene parove brojeva. Bernarda počinje igru i bira uređeni par $(n,1)$ za neki $n \in \mathbb{N}$. Ako je prethodni igrač odabrao uređeni par $(a,b)$, igrač na potezu bira jedan od parova $(a-b,b)$ i $(a-2b,2b)$. Igru gubi igrač koji odabere par u kojem je jedan od brojeva negativan.

Za koliko prirodnih brojeva $n < 2^{100}$ Antun može osigurati pobjedu neovisno o tome kako Bernarda igra nakon svog prvog poteza?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Neka su $k$ i $n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $k \leq 2n$. Dokaži da je

$$2^{2n+2} + 2^{k+2} + 1$$

kvadrat prirodnog broja ako i samo ako vrijedi $k = n$.

Neka je $n \geq 2$ prirodni broj. Za niz prirodnih brojeva $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$, kažemo da je par $(i,j)$, $1 \leq i < j \leq n$ zlatni ako vrijedi jednakost

$$a_j^2 - a_i^2 = 2(a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j).$$

Odredi najveći mogući broj zlatnih parova (koji se može postići u nekom nizu od $n$ prirodnih brojeva).

Za $2024$-člani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je skladan ako umnožak bilo kojih $100$ njegovih elemenata dijeli umnožak preostalih $1924$ elemenata.

Koliko najviše prostih brojeva može biti u skladnom skupu?

Kružnice $k_1$ i $k_2$, redom sa središitima $O_1$ i $O_2$, sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $p$ prolazi točkom $B$ i sijeće kružnicu $k_1$ još u točki $C$, a kružnicu $k_2$ još u točki $D$, pri čemu se točka $B$ nalazi između $C$ i $D$. Tangenta na kružnicu $k_1$ u točki $C$ i tangenta na kružnicu $k_2$ u točki $D$ sijeku se u točki $E$. Pravac $AE$ sijeće opisanu kružnicu trokuta $AO_1O_2$ u točkama $A$ i $F$.

Dokaži da duljina $|EF|$ ne ovisi o odabiru pravca $p$.

Neka je $n$ prirodni broj. Za prirodni broj $k$ kažemo da je dobar za $n$ ako postoji prirodni broj $r$ takav da je $n < r < k$ i da $r$ dijeli $nk$.

Dokaži da je najmanji broj dobar za $n$ broj

$$(d + 1) \left(\frac{n}{d} + 1\right),$$

gdje je $d$ najveći djelitelj broja $n$ koji nije veći od $\sqrt{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(y)f(1 + xf(y)) + xf(y^2) = 2yf(xy) + f(f(y)).$$

Za tročlani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je jeftin ako u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta te dva broja od kojih jedan dijeli drugoga.

Dan je prirodni broj $n$. Koliko najviše jeftinih tročlanih podskupova može imati skup koji sadrži točno $2n + 1$ prirodnih brojeva?

Neka je $ABC$ raznostranični šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |BC|$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $X$. Na toj kružnici nalazi se točka $Y$ takva da je $CA$ simetrala kuta $\measuredangle YCB$. Neka je $D$ nožište okomice iz $B$ na $AY$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{XY}$ sijeku se u točki $E$, a dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ u točki $K$. Ako je $T$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da je $TK$ simetrala kuta $\measuredangle ETD$, dokaži da je $TK$ okomito na $AB$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje postoje prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ takvi da je

$$\frac{m^a}{n^b} + \frac{n^c}{m^d}$$

prirodan broj, ali broj $\dfrac{m^a}{n^b}$ nije prirodan.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(xy) = \max\{f(x), f(y)\} \cdot \min\{x, y\}.$$

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $m, n > 1$. U svakom polju ploče dimenzija $m \times n$ nalazi se jedan novčić. Svaki novčić ima dvije strane - pismo i glavu.

Jedan potez sastoji se od sljedećeg:

(i) Odaberemo $2 \times 2$ potkvadrat na ploči.

(ii) Preokrenemo točno tri novčića u tom potkvadratu:

• novčić u gornjem lijevom polju
• novčić u donjem desnom polju
• jedan od novčića u gornjem desnom i donjem lijevom polju (po izboru).

Ako na početku svi novčići pokazuju pismo, odredi sve parove $(m,n)$ za koje se konačnim nizom poteza može postići da svi novčići pokazuju glavu.

Neka je $O$ središte opisane kružnice $k$ trokuta $ABC$ u kojem je $|AB| > |BC|$.

Kružnica $k_1$ prolazi točkama $O$ i $B$, a pravac $AB$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k$ i $k_1$ sijeku još i u točki $P$, $P \neq B$. Kružnica $k_2$ prolazi točkama $P$ i $C$, a pravac $AC$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku još u točki $M$, $M \neq P$.

Dokaži da je $|MP| = |MC|$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m,n,p)$ takve da je $p$ prost i da vrijedi

$$n(n + 1)(n + p)(n + p + 1)p^6m^2 = (4n + 3)^6(p + 1)^2(p - 4)^2.$$

Neka je $c$ prirodan broj. Pretpostavimo da je $x_1, x_2, \ldots$ (beskonačan) strogo rastući niz prirodnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi

$$x_n \mid n^2 + c.$$

Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $x_n = n^2 + c$ za svaki $n \geqslant M$.

Za prirodne brojeve $n$ i $k$, promatramo popločavanja ploče dimenzija $2n \times k$ dominima dimenzija $2 \times 1$. U jednom potezu je dopušteno izabrati $2 \times 2$ kvadrat na ploči koji je potpuno prekriven s dva domina, te okrenuti ga za $90°$ oko središta. Kažemo da su dva popločavanja ekvivalentna ako je od jednog moguće dobiti drugog primjenom konačno mnogo dopuštenih poteza. Za koje parove $(n, k)$ su sva popločavanja ekvivalentna?

Zadan je konveksan šesterokut $ABCDEF$ kojemu su sveke dvije nasuprotne stranice međusobno različitih duljina i paralelne ($AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ i $CD \parallel FA$). Ako je $|AE| = |BD|$ i $|BF| = |CE|$, dokaži da se šesterokutu $ABCDEF$ može opisati kružnica.

Za pozitivan racionalan broj $q$ kažemo da je sjajan ako za svaki pozitivan racionalan broj $x$ postoje cijeli broj $n \geqslant 0$ i cijeli brojevi $a_0, \ldots, a_n$ takvi da je

$$x = q^{a_0} \cdot (q + 1)^{a_1} \cdot \ldots \cdot (q + n)^{a_n}.$$

Odredi sve sjajne brojeve.

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x, y$ vrijedi

$$f(x + yf(x + 1)) = f(x) + f(xy) + 1.$$

Neka je $k \geqslant 2$ prirodan broj. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant k + 1$ takav da postoji skup od $n$ (različitih) realnih brojeva u kojem koji god broj da izaberemo možemo pronaći još $k$ drugih brojeva u skupu čiji je zbroj jednak izabranom broju.

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|BC| : |AC| = 3 : 2$. Neka je $D$ polovište stranice $\overline{AC}$, a $P$ polovište dužine $\overline{BD}$. Na pravcu $AC$ dana je točka $X$ tako da je $|AX| = |BC|$, pri čemu je $A$ između $X$ i $C$. Pravac $XP$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u $E$. Pravac $DE$ siječe pravac $AP$ u $Y$. Dokaži da točke $A, X, Y, E$ leže na jednoj kružnici ako i samo ako je $|AB| = |BC|$.

Neka je $x$ prirodan broj. Pretpostavimo da postoje dva relativno prosta prirodna broja $m$ i $n$ za koje su brojevi $x^3 + mx$ i $x^3 + nx$ kvadrati prirodnih brojeva. Dokaži da postoji beskonačan skup prirodnih brojeva $S$ takav da su svi članovi skupa $S$ u parovima relativno prosti, te je $x^3 + kx$ kvadrat prirodnog broja za svaki $k \in S$.

Neka je $a_1, a_2, a_3, \ldots$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da za svaki prirodan broj $n \geqslant 2$ vrijedi

$$a_n - a_{n+2} \leqslant (a_{n-1} - a_{n+1}) \cdot \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{a_{n-1} + a_n}.$$

Dokaži da je $a_{100} \geqslant a_{102}$.

Neka je $n$ prirodan broj. Na početku je $n$ kamenčića raspoređeno u $n$ hrpa (u svakoj hrpi je po jedan kamenčić). U pojedinom potezu biramo dvije hrpe, uzimamo jednak broj kamenčića s tih dviju hrpa te od tih kamenčića stvaramo novu hrpu. U ovisnosti o $n$, odredi najmanji mogući broj nepraznih hrpa nakon nekog konačnog niza poteza.

Neka je $ABCD$ tetivni četverokut. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$. Pretpostavimo da točke $Q, A, B, P$ leže na pravcu u tom poretku, da je $AC$ tangenta opisane kružnice trokuta $ADQ$ te da je $BD$ tangenta opisane kružnice trokuta $BCP$. Dokaži da se pravac $CD$, tangenta opisane kružnice trokuta $ANQ$ u točki $A$ i tangenta opisane kružnice trokuta $BMP$ u točki $B$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva dijeli umnožak svih zbrojeva međusobno različitih parova prostih brojeva koji nisu veći od $n$, tj. za koje vrijedi

$$n! \mid \prod_{\substack{p < q \leqslant n \\ p, q \text{ prosti}}} (p + q).$$

Neka su $x, y, z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{x + z} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \geqslant 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.$$

Neka su $k$ i $\ell$ prirodni brojevi. Odredi najmanji prirodan broj $m$ za koji je moguće podijeliti kvadrat $ABCD$ na $m$ pravokutnika stranica paralelnih sa stranicama kvadrata tako da svaki pravac paralelan s $AB$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $k$ pravokutnika, a svaki pravac paralelan s $BC$ koji siječe unutrašnjost kvadrata siječe barem $\ell$ pravokutnika.

Neka je $T$ težište raznostraničnog trokuta $ABC$. Označimo sa $A_1, B_1, C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, a sa $A_2, B_2, C_2$ polovišta dužina $\overline{AT}$, $\overline{BT}$ i $\overline{CT}$ redom. Dokaži da se kružnice opisane trokutima $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_2$ i $A_2B_2C_1$ sijeku u jednoj točki.

Odredi sve parove različitih prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi

$$ab(b - a) \mid a^4 - b^2.$$

Ako je $a_1, a_2, \ldots, a_{2000}$ niz od $2000$ pozitivnih realnih brojeva, za koliko najviše indeksa $i \in \{1, 2, \ldots, 2000\}$ može vrijediti jednakost

$$a_i a_{i+3} = a_i a_{i+1} + a_{i+1} a_{i+2} + a_{i+2} a_{i+3}?$$

Smatramo da je $a_{j+2000} = a_j$ za $j \in \{1, 2, 3\}$.

Neka je $n \geqslant 3$ prirodan broj. Za prirodan broj $m \geqslant n + 1$ kažemo da je $n$-obojiv ako je $m$ kamenčića postavljenih na kružnici moguće obojati u $n$ boja tako da se među bilo kojih $n + 1$ uzastopnih kamenčića pojavljuje svih $n$ boja.

Dokaži da postoji konačno mnogo prirodnih brojeva $m \geqslant n + 1$ koji nisu $n$-obojivi i odredi najveći od njih.

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut u kojem je $|AB| < |AC|$ te neka je kružnica $k$ sa središtem $O$ njegova opisana kružnica. Neka su $P$ i $Q$ točke redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ takve da je $AQPO$ paralelogram. Neka su $K$ i $L$ sjecišta simetrale dužine $\overline{OP}$ s kružnicom $k$, pri čemu je $K$ na kraćem luku $\widehat{AB}$. Neka je $M$ drugo sjecište pravca $KQ$ i kružnice $k$. Dokaži da točka $A$ pripada simetrali kuta $\measuredangle QLM$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje pstoji permutacija $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ skupa svih pozitivnih djelitelja od $n$ takva da je, za svaki $i \in \{1,2,\ldots,k\}$, broj $$d_1 + d_2 + \ldots + d_i$$ kvadrat prirodnog broja.

Dokaži da za sve realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ vrijedi nejednakost

$$\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 100} \frac{(x_j - x_i)^2}{j^2 - i^2} \geqslant \frac{1}{101} \sum_{1 \leqslant i \leqslant 50} (x_{101-i} - x_i)^2.$$

Dokaži da za svaki prirodan broj $n > 10^6$ postoji višekratnik broja $n$ koji nije veći od $n^4$, čiji zapis u dekadskom brojevnom sustavu koristi najviše 4 različite znamenke.