Croatian National Competitions

Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} \geq \frac{3}{2}.$$

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Dan je četverokut $ABCD$ s kutovima $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 120^\circ$. Dijagonale $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ sijeku se u točki $S$, pri čemu je $2|BS| = |SD| = 2d$. Iz polovišta $P$ dijagonale $\overline{AC}$ spuštena je okomica $\overline{PM}$ na dijagonalu $\overline{BD}$, a iz točke $S$ okomica $\overline{SN}$ na $\overline{PB}$.

Dokaži:

(a) $|MS| = |NS| = \dfrac{d}{2}$;

(b) $|AD| = |DC|$;

(c) $P(ABCD) = \dfrac{9d^2}{2}$.

Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Dana je polukružnica nad promjerom $\overline{AB}$ i na njoj točke $C$ i $D$ tako da vrijedi:

a) točka $C$ pripada luku $\widehat{AD}$;

b) $\measuredangle CSD$ je pravi, pri čemu je $S$ središte dužine $\overline{AB}$.

Neka je $E$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$, a $F$ sjecište $AD$ i $BC$. Dokažite da je $|EF| = |AB|$.

Nadite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika $5n + 6$ i $8n + 7$ za neko $n \in \mathbf{N}$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Odredi sve cijele brojeve $m$, $n$ za koje vrijedi $$m^3 + n^3 = (m + n)^2.$$

Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $xyz = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x - 1}{y + 1} + \frac{y - 1}{z + 1} + \frac{z - 1}{x + 1} \geq 0.$$

Kružnice $\mathcal{C}_1$ i $\mathcal{C}_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $\mathcal{C}_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $\mathcal{C}_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\measuredangle CAD$, siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $M$, kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi, $a \neq 0$. Ako je $x_1$ jedno rješenje jednadžbe $$ax^2 + bx + c = 0$$ i $x_2$ jedno rješenje jednadžbe $$-ax^2 + bx + c = 0,$$ dokažite da je tada jedno rješenje $x_3$ jednadžbe $$\frac{a}{2}x^2 + bx + c = 0,$$ između $x_1$ i $x_2$, tj. $x_1 \leq x_3 \leq x_2$ ili $x_2 \leq x_3 \leq x_1$.

Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1$, $O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_a bc)^r + (\log_b ca)^r + (\log_c ab)^r \geq 3 \cdot 2^r.$$

Dokažite da u svakom skupu od $11$ prirodnih brojeva postoji njih $6$, čiji je zbroj djeljiv sa $6$.

Pojedini dijelovi pravilnog peterokuta $ABCDE$ imaju površine označene sa $x$, $y$, $z$ kao na slici. Ako je zadana površina $x$, nadite površine $y$ i $z$, te površinu cijelog peterokuta.

Dokažite da za pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi nejednakost $$\frac{a^2}{(a + b)(a + c)} + \frac{b^2}{(b + c)(b + a)} + \frac{c^2}{(c + a)(c + b)} \geq \frac{3}{4}.$$

Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način: $p_1 = 2$ i za $n \geq 2$, $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$. Dokažite da je $p_n \neq 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1,1)$ po sljedećim pravilima:

(i) iz točke $(a,b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a,b)$, odnosno $(a,2b)$;

(ii) ako je $a > b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a - b,b)$, a ako je $a < b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a,b - a)$.

Da li žaba može stići u točku

(a) $(24,40)$,

(b) $(40,60)$,

(c) $(24,60)$,

(d) $(200,4)$?

Nadite sve parove realnih brojeva $(x,y)$ za koje vrijedi $$(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}.$$

Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1, B_1, C_1, D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM, BM, CM, DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1| \cdot |C_1D_1| = |A_1D_1| \cdot |B_1C_1|.$$

Za pozitivne brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n, n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = s$. Dokažite nejednakost $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \ldots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{n}{n - 1}.$$

Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?

Nadite sva rješenja jednadžbe $$(x^2 + 3x - 4)^3 + (2x^2 - 5x + 3)^3 = (3x^2 - 2x - 1)^3.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi veći od $1$. Dokažite sljedeću nejednakost $$\log_a \left(\frac{b^2}{ac} - b + ac\right) \log_b \left(\frac{c^2}{ab} - c + ab\right) \log_c \left(\frac{a^2}{bc} - a + bc\right) \geq 1.$$

Ako za trokute s duljinama stranica $a$, $b$, $c$ i $a'$, $b'$, $c'$ te nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$ vrijede jednakosti $\alpha + \alpha' = \pi$ i $\beta = \beta'$, dokažite da vrijedi i jednakost $aa' = bb' + cc'$.

Odredite sve pozitivne cijele brojeve $n$ za koje jednadžba $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$ ima točno pet rješenja $(x,y)$ u skupu pozitivnih cijelih brojeva.

Neka je $z$ kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost $z^8 = \bar{z}$. Koje vrijednosti može poprimiti broj $z^{2001}$?

Kružnica sa središtem $O$ dira stranicu $\overline{BC}$ i produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ redom u točkama $K$, $P$ i $Q$. Dužine $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ sijeku spojnicu $\overline{PQ}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokažite da je $$\frac{|QN|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|BC|} = \frac{|MP|}{|CA|}.$$

Neka je $N$ prirodan broj. Dano je $N$ trojki cijelih brojeva $r_j$, $s_j$, $t_j$, za $1 \leq j \leq N$, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $ar_j + bs_j + ct_j$ neparan, za barem $\dfrac{4N}{7}$ različitih indeksa $j$.

Neka je $P$ poligon u koordinatnom sustavu u ravnini čija je površina veća od $1$. Dokažite da postoje dvije različite točke $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ poligona $P$ takve da su $x_1 - x_2$ i $y_1 - y_2$ cijeli brojevi.

Neka je $a$ pozitivan realan broj, a $x_1, x_2, x_3$ realni brojevi takvi da je $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. Dokažite nejednakost $$\log_2(1 + a^{x_1}) + \log_2(1 + a^{x_2}) + \log_2(1 + a^{x_3}) \geq 3.$$

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruirani su kvadrati $ACXE$ i $CBDY$. Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$.

Neka su $j$ i $k$ prirodni brojevi. Dokažite da nejednakost $$\lfloor (j + k)\alpha \rfloor + \lfloor (j + k)\beta \rfloor \geq \lfloor j\alpha \rfloor + \lfloor j\beta \rfloor + \lfloor k(\alpha + \beta) \rfloor$$ vrijedi za sve realne brojeve $\alpha$ i $\beta$ ako i samo ako je $j = k$.

($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

U unutrašnjosti kvadrata $ABCD$ stranice duljine $20$, dane su točke $T_i$, $i = 1, 2, \ldots, 2000$, tako da nikoje tri točke u skupu $S = \{A, B, C, D\} \cup \{T_i : i = 1, 2, \ldots, 2000\}$ nisu kolinearne. Dokažite da postoji barem jedan trokut, s vrhovima u skupu $S$, površine manje od $\dfrac{1}{10}$.

Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$ trokuta $ABC$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL| = |CM|$, dokažite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$, gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

U zavisnosti o parametru $a$ nađite rješenja jednadžbe $$x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0.$$ Za koje realne brojeve $a$ su sva rješenja realna?

Neka su $a, b, c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite nejednakost $$a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1.$$

Na jednom turniru sudjelovalo je $n$ košarkaških ekipa. Svaka ekipa odigrala je sa svakom drugom točno jednu utakmicu. Neriješenih ishoda nije bilo. Ako na kraju turnira $i$-ta ekipa ima $x_i$ pobjeda i $y_i$ poraza $(i = 1, 2, \ldots, n)$, dokažite da je $$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2.$$

Riješite jednadžbu $$2z^3 - (5 + 6i)z^2 + 9iz + 1 - 3i = 0$$ ako se zna da je jedno njezino rješenje realno.

Dokažite da za svaka dva realna broja $a \geq 0$ i $b \geq 0$ vrijedi nejednakost $$\frac{a + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2} + b}{4} \leq \frac{a + \sqrt{ab} + b}{3}.$$

Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ izabrane su točke $E$ i $F$, tim redom, takve da je $|BE| = |BF|$. Neka je $\overline{BN}$ visina trokuta $BCE$. Dokažite da je trokut $DNF$ pravokutan.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $a = (n + 1)^m - n$ i $b = (n + 1)^{m+3} - n$.

(a) Dokažite da su $a$ i $b$ relativno prosti ako $m$ nije djeljiv s $3$.

(b) Odredite sve brojeve $m$ i $n$ za koje $a$ i $b$ nisu relativno prosti.

Neka je $ABCDEF$ pravilni šesterokut sa središtem $O$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{DE}$, a $L$ točka presjeka pravaca $AM$ i $BN$. Dokažite:

(a) $P(ABL) = P(DMLN)$;

(b) $\measuredangle ALD = \measuredangle OLN = 60^\circ$;

(c) $\measuredangle OLD = 90^\circ$.

Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a.$$

U decimalnom zapisu broja $2^{1997}$ ima $m$ znamenaka, a u zapisu broja $5^{1997}$ ima $n$ znamenaka. Kolika je suma $m + n$?

U ravnini je dano $1997$ točaka. Dokažite da među svim udaljenostima po dvije od tih točaka ima barem $32$ različite.

Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete

(a) $f(1) = 1$,

(b) $f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbf{R}$,

(c) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^2}, \quad \forall x \in \mathbf{R}, \quad x \neq 0$,

koliko je $f(\sqrt{1996})$?

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?