Local Competitions

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$\frac{(2 + \sqrt{2})^n - (2 - \sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}$$ također prirodan.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?

Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da je $a_1 = 1$ i $a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n$ za sve $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Vita i Lovro naizmjence bacaju igraću kockicu (na čijim su stranama brojevi od $1$ do $6$). Svaki od njih zbraja brojeve koje dobije bacanjem kockice. Vita baca prva. Igra završava Vitinom pobjedom ako njezin zbroj dosegne $5$ (tj. bude $5$ ili više), a Lovrinom pobjedom ako njegov zbroj dosegne $4$. Pokaži da je vjerojatnost da Vita pobijedi veća od $0.5$.

Odredi znamenke $a, b, c \neq 0$ takve da brojevi $a$, $\overline{ba}$ i $\overline{cba}$ budu uzastopni članovi nekog geometrijskog niza.

Na koliko je načina moguće svako od šest polja u nizu obojati jednom od tri boje (crvenom, bijelom ili plavom) tako da ne postoje tri uzastopna polja obojena trima različitim bojama?

Odredi najveću moguću vrijednost realnog dijela kompleksnog broja $$(10 + 14i)z + \frac{8 - 8i}{z}$$ ako je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 2$.

Odredite zbroj koeficijenata uz sve neparne potencije od $x$ u razvoju zbroja binoma

$$\left(x + \sqrt{x^3 - 1}\right)^5 + \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right)^5,$$

gdje je $x > 1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Zadan je pravac s jednadžbom $y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{5}$. Dokažite da je udaljenost svake točke s cjelobrojnim koordinatama do zadanog pravca veća od $\dfrac{1}{30}$.

Pronađite sve parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi

$$x^2 + y^2 = 2025.$$

Zadan je niz $(a_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ takav da je $a_0 = a$, $a_1 = b$, gdje su $a$, $b\in \mathbb{R}$, i

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n \geq 2.$$

Odredite $a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1}$.

Koliko ima tročlanih podskupova skupa $S = \{1,2,3,\ldots,50\}$ kojima je umnožak članova djeljiv s $4$?

Sinusi unutarnjih kutova nekog pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. U kojem su omjeru duljine stranica tog trokuta?

Djevojke Marija i Magdalena igraju šahovski meč u tri partije. Vjerojatnosti da Marija u pojedinoj partiji pobijedi, izgubi ili da partija završi remijem su međusobno jednake. Ukupna pobjednica meča je djevojka koja ostvari više pobjeda (u tri partije), a ako budu imale jednak broj pobjeda, meč završava neodlučenim rezultatom.

Kolika je vjerojatnost da Marija bude ukupna pobjednica meča?

Odredi sve uređene parove $(p, n)$ gdje je $p$ prost, a $n$ prirodan broj za koje vrijedi $$1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n = 2801.$$

Neka je $(a_n)$ niz definiran sa $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ i $$a_n = a_{n-1} + (n-1)a_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Dokaži da vrijedi $a_{2024} \geqslant \sqrt{2024!}$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ za koje vrijedi $$D(m, 20) = n, \quad D(n, 15) = k \quad \text{i} \quad D(m, k) = 5,$$ gdje je $D(a, b)$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$.

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ te $4z_3 = 3(z_1 + z_2)$. Koliko je $|z_1 - z_2|$?

Pravokutni trokuti $ABC$ i $ABD$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{AB}$, a katete $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ im se sijeku u točki $E$. Neka je $F$ ortogonalna projekcija točke $E$ na pravac $AB$. Dokaži da je $FE$ simetrala kuta $\measuredangle CFD$.

Niz znamenaka sastoji se od jedinica i nula. Među bilo kojih $200$ uzastopnih znamenaka jednako je jedinica i nula, a među bilo koje $202$ uzastopne znamenke broj jedinica i broj nula se razlikuju. Koja je najveća moguća duljina takvog niza?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Na početku je zadan prirodan broj $n$. Jurica odabire dva prirodna broja $a$ i $b$ čiji je umnožak broj $n$, a zatim ponavlja postupak s brojem $a + b$ umjesto $n$.

Odredi, u ovisnosti o broju $n$, najmanji mogući prirodan broj koji Jurica može dobiti kao rezultat nakon konačno mnogo koraka.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da vrijedi $|AB| = 4$, $|AD| = 3$, te je mjera kuta pri vrhu $A$ jednaka $60°$. Kružnica $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ dok kružnica $k_2$ dira stranice $\overline{CB}$ i $\overline{CD}$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ su sukladne i dodiruju se izvana. Odredi duljinu polumjera tih kružnica.

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$13^{n+1} + 14^{2n-1}$$ djeljiv sa $183$.

Dokaži da je $$\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024} + \frac{3^{2024}}{\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024}}$$ prirodan broj.

Članovi niza $x_1, x_2, x_3, \ldots$ dobiveni su množenjem odgovarajućih članova dvaju aritmetičkih nizova. Prva tri člana tako nastalog niza su $x_1 = 1440$, $x_2 = 1716$ i $x_3 = 1848$. Odredi osmi član tog niza.

U nekoj školi učenici mogu učiti dva klasična jezika: latinski i grčki. Od $100$ učenika, njih $50$ uči latinski, $40$ grčki, a $20$ ih uči oba jezika. Ako slučajno odaberemo dva učenika, kolika je vjerojatnost da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki?

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Za koliko je prirodnih brojeva $n$ vrijednost razlomka $$\frac{n + 2022}{n - 3}$$ cijeli broj?

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{AD}$ takva da je $|AS| = \sqrt{3} - 1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$, te siječe bridove $\overline{AB}$ i $\overline{AA'}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Sve točke prostora čija udaljenost od dužine $\overline{AB}$ iznosi najviše $3$ čine tijelo obujma $216\pi$. Odredi duljinu dužine $\overline{AB}$.

Polja ploče dimenzija $300 \times 300$ iste su veličine kao i $14$ kvadratića od kojih se sastoji lik prikazan na slici. Koliko je najviše takvih likova moguće postaviti na tu ploču bez preklapanja? Likove se može rotirati i prevrtati.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^b - b^a + 2^a = 17a^4 - 2b^2 + 52.$$

Odredi najmanju i najveću vrijednost koju izraz $\sin^2 x \cos 2x$ postiže za $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Koliko ima četveroznamenkastih prirodnih brojeva u čijem su zapisu točno dvije različite znamenke od kojih se svaka pojavljuje dvaput?

Trapezu s krakovima duljina $4$ i $5$ može se upisati kružnica, a zbroj veličina kutova uz dulju osnovicu iznosi $120°$. Izračunaj površinu tog trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$\log_2 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_8 x + \cdots + \log_{2^{2019}} x \cdot \log_{2^{2020}} x = \frac{2019}{2020}.$$

Za prirodni broj $n \geqslant 2$ neka je $D(n)$ najveći prirodni djelitelj broja $n$ različit od $n$. Na primjer, $D(12) = 6$ i $D(13) = 1$.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da je $D(n) = 35$.

Posuda oblika uspravnog stošca sadrži određenu količinu vode. Kada je stožac postavljen osnovkom na ravnu površinu vrhom prema gore, razina vode je $8$ cm ispod vrha stošca. Ako stožac preokrenemo, razina vode je $2$ cm ispod osnovke stošca.

Kolika je visina posude?

Dani su prosti brojevi $p$, $q$, $r$ i $s$ takvi da je $5 < p < q < r < s < p + 10$.

Dokaži da je zbroj tih četiriju brojeva djeljiv sa $60$.