Local Competitions

Ante i Matea treniraju plivanje. Na jednom od zajedničkih treninga istovremeno su krenuli sa suprotnih strana bazena. Do trenutka kad su se prvi puta istovremeno našli na istom rubu bazena, zajedno su preplivali devet duljina bazena. Od tada do sljedećeg trenutka kad su se ponovno našli istovremeno na istom rubu bazena zajedno su preplivali dodatnih $855$ metara. Ako oboje plivaju stalnim brzinama, kolika je duljina bazena u kojem treniraju?

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $a^2 = bc + 1$ i $b^2 = ac + 1$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AC| > |BC|$. Neka je $M$ nožište okomice iz vrha $B$ na simetralu kuta $\measuredangle BCA$. Dokaži da je površina trokuta $AMC$ dvostruko manja od površine trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\frac{2x^2}{1 + x^2} = y, \quad \frac{2y^2}{1 + y^2} = z, \quad \frac{2z^2}{1 + z^2} = x.$$

Može li se ploča dimenzija $2027 \times 2027$ prekriti koristeći dvije vrste pločica:

• pločice dimenzija $1 \times 2$ koje prekrivaju po dva susjedna polja u istom retku i

• pločice dimenzija $3 \times 1$ koje prekrivaju po tri uzastopna polja u istom stupcu?

Pločice se ne smiju preklapati niti prelaziti preko ruba dane ploče.

Marija i Eva vozile su se istim putom iz grada $A$ u grad $C$. Mariji je trebalo 96 minuta, a Evi 4 minute više. Točno na pola puta između gradova $A$ i $C$ nalazi se grad $B$. Marija je cijelim putom od $A$ do $C$ vozila istom brzinom, dok je Eva od grada $A$ do grada $B$ vozila $13\,\mathrm{km/h}$ sporije od Marije, a od grada $B$ do grada $C$ $13\,\mathrm{km/h}$ brže od Marije. Koliko su udaljeni gradovi $A$ i $C$?

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $A$ u šiljastokutnome trokutu $ABC$. Točke $E$ i $F$ su redom nožišta okomica iz točke $D$ na $AB$ i $AC$, a točke $G$ i $H$ redom su nožišta okomica iz $E$ i $F$ na $AD$. Ako je $|AH| = |HG| = |GD| = 2$, odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\frac{a^2 + b^2 + ab - 4a - 2b + 7}{a^2 + b^2 - 4a + 6},$$

pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi.

Na ploču dimenzija $4 \times 4$ treba rasporediti određeni broj žetona tako da se na nekim poljima nalazi po jedan žeton, a neka su polja prazna. Za raspored žetona kažemo da je siguran ako se svaki žeton nalazi na polju kojemu su sva susjedna polja prazna (dva polja smatraju se susjednima ako imaju zajedničku stranicu). Za koji najmanji prirodan broj $k$ postoji siguran raspored $k$ žetona takav da se na ploču ne može dodati nijedan žeton, a da raspored i dalje bude siguran?

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\dfrac{n}{2}\left(1 + \sqrt{4n - 3}\right)$.

Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadzbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0'$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0T_0'}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0'$ na pravac $T_0T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T'$. Što opisuje točka $T'$?

Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = \left(\frac{1}{2}|BC|\right)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo $$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$$ Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$.

Neka je $S = \{k \in \mathbf{N} : a \in \mathbf{N}, a^2 | k \Rightarrow a = 1\}$ i $n \in \mathbf{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Polovištem svakog brida tetraedra položena je ravnina okomito na suprotni brid. Dokažite da se svih šest ravnina siječe u točki koja je simetrična središtu opisane sfere tetraedra u odnosu na njegovo težište.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj veći od $1$. Koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva $1, 2, \ldots, n$ takvih da postoji točno jedan indeks $i \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$?

Izračunajte sumu $$\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \ldots + \frac{a_k}{2^k} + \ldots$$ gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj način: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{za } n > 2.$$

U ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1,0)$, $T_2 = (0,1)$, $T_3 = (-1,0)$ i $T_4 = (0,-1)$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ polovište dužine $\overline{T_n T_{n+1}}$. Uz pretpostavku da niz točaka $T_n$ $(n \to \infty)$ ima graničnu točku, nađite koordinate te točke.

Dokažite da sve tetive parabole $y^2 = 4ax$, koje su hipotenuze pravokutnog trokuta s pravim kutom u ishodištu, prolaze istom točkom.

Neka su $a$ i $m$ prirodni brojevi, $p$ neparan prost broj, takav da $p^m \mid a - 1$ i $p^{m+1} \nmid a - 1$. Dokažite da

a) $p^{m+n} \mid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$,

b) $p^{m+n+1} \nmid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbf{N}$.

Neka je $A = \{1,2,3,\dots,2n\}$ i funkcija $g: A \to A$ definirana sa $g(k) = 2n - k + 1$. Da li postoji funkcija $f: A \to A$ takva da je $f(k) \neq g(k)$ za svaki $k \in A$ i $f(f(f(k))) = g(k)$ za svaki $k \in A$, ako je

a) $n = 999$,

b) $n = 1000$?

Osam žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacije biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno.

Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

Nadite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.

U ravnini je dana kružnica $k$ i točka $K$. Za bilo koje dvije različite točke $P$ i $Q$ na $k$, kružnica $k'$ prolazi kroz točke $P$, $Q$ i $K$. Neka je $M$ sjecište tangente na kružnicu $k'$ u točki $K$ i pravca $PQ$. Opišite geometrijsko mjesto točaka $M$ kada $P$ i $Q$ prolaze svim točkama kružnice $k$.

Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1) = 1, \quad f(2) = 2,$$ $$f(n + 2) = f(n + 2 - f(n + 1)) + f(n + 1 - f(n)), \quad (n \geq 1).$$

(a) Pokažite da je $f(n + 1) - f(n) \in \{0, 1\}$ za svaki $n \geq 1$.

(b) Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n + 1) = f(n) + 1$.

(c) Za dani prirodan broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n) = 2^{k-1} + 1.$$

Neka je $k$ prirodan broj. Odredite broj nesukladnih trokuta kojima su vrhovi u vrhovima zadanog pravilnog $6k$-terokuta.

Postoji li rješenje jednadžbe $$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345?$$

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Odredite funkcije $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2, \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R},$$ gdje je $t \in (0,1)$ dani fiksan broj.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40°, \beta = 60°, \gamma = 80°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ nožišta visina tog trokuta. Na isti način se polazeči od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$, zatim redom trokuti $A_3B_3C_3, \ldots$. Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$.

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2, \quad a \neq c, \quad b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

Sve točke ravnine su na bilo koji način podijeljene na dva disjunktna skupa. Dokažite da postoji trokut čiji vrhovi pripadaju istom skupu, najmanja stranica mu ima duljinu $1$ i kutovi mu se odnose kao $1 : 2 : 3$.

Zadan je niz $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$, $x_{n+3} = x_{n+2} + x_{n+1} + x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.

Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3 - z}$.

(a) Odredite skup $\{w : z = 2 + iy, y \in \mathbf{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.

(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w - 1}{w - 2} = \lambda \frac{z - 1}{z - 2}$.

(c) Neka je $z_0 = \frac{1}{2}$ i niz $(z_n)$ definiran sa $$z_n = \frac{2}{3 - z_{n-1}}, \quad n \geq 1.$$ Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbf{N}$ vrijedi $$xP(x - n) = (x - 1)P(x), \quad \forall x \in \mathbf{R}.$$

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.

Zadan je niz $\{a_n\}$ rekurzivnom formulom $$a_{n+1} = \frac{a_n^2 + b}{2}, \quad 0 < b \leq 1, \; a_0 = 0.$$ Pokažite da je niz konvergentan i izračunajte mu limes.

Unutar kružnice polumjera $R$ nalazi se $n$ manjih kružnica polumjera $r_1, r_2, \ldots, r_n$ takvih da je $r_1 + r_2 + \ldots + r_n > 4R$. Dokažite da postoji pravac koji siječe barem $5$ manjih kružnica.

Nad stranicama $AB$ i $BC$ trokuta $ABC$ konstruirani su jednakostranični trokuti $ADB$ i $CBE$. Ako je $T$ težište trokuta $CBE$, a $P$ polovište dužine $AC$ dokažite da je $\angle DPT$ pravi kut.

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \operatorname{ctg} \omega = \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg} \gamma.$$

(a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2$, $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$

(b) Dokažite da je $m \geq 3$. Što to znači za kut $\omega$? Za koje trokute vrijedi jednakost?

(c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.

Osnovka trostrane piramide je trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$. Nasuprotni bridovi su duljina $m$, $n$ i $p$. Dokažite da udaljenost vrha piramide od težišta osnovke iznosi $$\frac{1}{3}\sqrt{3(m^2 + n^2 + p^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}.$$

Nadite sve prirodne brojeve $n$ za koje polinom $P(x) = x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n$ posjeduje barem jednu cjelobrojnu nul-točku.

Neka je $A = \{z_1, \ldots, z_n\}$ skup od $n$ kompleksnih brojeva, $n \geq 2$ i neka je za svaki $i$ $\{z_i z_1, z_i z_2, \ldots, z_i z_n\} = A$. a) Dokažite da je za svaki $i$ ispunjeno $|z_i| = 1$. b) Dokažite da iz $z \in A$ slijedi i $\overline{z} \in A$.

Odredite geometrijski niz realnih brojeva ako je poznato da je zbroj prva četiri člana jednak $15$, a zbroj njihovih kvadrata je $85$.