Croatian Competitions

Izračunaj $$2 \cdot \frac{2027^{3} + 2025^{3}}{2^{2} + 2027 \cdot 2025} - 4052 \cdot \frac{2027^{3} - 2025^{3}}{4052^{2} - 2027 \cdot 2025}.$$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s katetama duljina $|AC| = 4$ i $|BC| = 3$. Neka je $D$ točka na hipotenuzi $\overline{AB}$ takva da trokuti $ADC$ i $BCD$ imaju jednake opsege. Koliko iznosi površina trokuta $BCD$?

Neka su $a, b, c$ i $d$ realni brojevi takvi da vrijedi $abcd \neq 0$ i da je $$a = b - c, \quad b = c - d, \quad c = d - a.$$

Odredi vrijednost izraza $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}.$$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je broj $n^2 + 1$ djeljiv brojem $n + 13$.

Spremajući se za natjecanje iz matematike, Marta je u pet dana riješila ukupno $31$ zadatak. Svakog je dana riješila više zadataka nego prethodnog, a petog je dana riješila točno tri puta više zadataka nego prvog. Koliko je zadataka mogla riješiti četvrtog dana?

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 = b(b + 7)$.

U svako polje tablice $5 \times 5$ upisan je po jedan cijeli broj pri čemu se u pojedinom retku ili stupcu isti broj nalazi najviše tri puta. Razlika bilo koja dva broja u istom retku ili stupcu iznosi najviše $2$. U tablici se nalazi broj $0$, ali ne i broj $4$. Odredi najveći mogući zbroj svih brojeva u tablici.

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$.

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$.

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$, a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$. Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$, $5$ i $7$?

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$, dok Markov broj pratitelja raste za $20$. Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?

Koji je broj veći, $$A = 2022 \cdot (2024^2 - 2024 + 1) \quad \text{ili} \quad B = 2024^3 - 3 \cdot 2024^2 + 3 \cdot 2024?$$

Neka su $a, b, c, d$ međusobno različiti cijeli brojevi takvi da vrijedi $$(a - 2024)(b - 2024)(c - 2024)(d - 2024) = 9.$$ Odredi $a + b + c + d$.

Farmer Ivan na svojoj farmi ima kokoši, svinje i ovce. Njegove životinje imaju ukupno $46$ glava i $124$ noge. Kada bi udvostručio broj kokoši i utrostručio broj ovaca na farmi, uz isti broj svinja, ukupan broj nogu svih životinja na farmi bio bi $232$. Koliko bi u tom slučaju bilo glava?

Odredi najmanji prirodni broj kojem je zbroj znamenaka djeljiv sa $7$ te ima svojstvo da je zbroj znamenaka njegovog sljedbenika također djeljiv sa $7$.

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $P$ točka takva da je kut $\measuredangle ABP$ je pravi, da vrijedi $|BP| = |BC|$ te da su točke $P$ i $C$ su na suprotnim stranama pravca $AB$. Dokaži da je pravac $CP$ okomit na simetralu kuta $\measuredangle BAC$.

Dan je trokut $ABC$ površine $1$. Točka $D$ polovište je dužine $\overline{BC}$, točka $E$ polovište je dužine $\overline{AD}$, točka $F$ polovište je dužine $\overline{BE}$ te je točka $G$ polovište dužine $\overline{CF}$. Odredi površinu trokuta $EFG$.

Koliko ima peteroznamenkastih prirodnih brojeva kojima je umnožak znamenaka jednak $900$?

Otac Matko prije $10$ godina imao je pet puta više godina nego njegova dva sina Josip i Kristijan zajedno. Tada je Josip bio dvostruko stariji od Kristijana. S druge strane, za $14$ će godina Josip i Kristijan zajedno imati jednako godina kao i njihov otac. Koliko su sada stari Matko, Josip i Kristijan?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$, $M$ polovište hipotenuze i $L$ sjecište simetrale pravog kuta s hipotenuzom. Ako mjera kuta $\measuredangle LCN$ iznosi $15°$, odredi mjeru kuta $\measuredangle MCL$.

Dani su cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$. Dokaži da je broj parova $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $x^2 + ax + b = y^2 + cy + d$ beskonačan ako i samo ako je $a^2 - 4b = c^2 - 4d$.

U prostoriji se nalazi $n$ kutija visina $1, 2, 3, \ldots, n$ koje treba nekim poretkom smjestiti uz zid. Mačak Fiko može skočiti s jedne kutije na sljedeću ako je sljedeća kutija niža (nije bitno koliko) od one na kojoj se nalazi ili je za najviše $1$ viša od one na kojoj se trenutno nalazi. Na koliko načina se kutije mogu poredati tako da Fiko može krenuti s prve kutije u nizu i skočiti redom na svaku iduću kutiju?

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ takve da je $b \geq 0$ i

$$a^2 + 2ab + b! = 131.$$

Za polukrug kažemo da je pravilno smješten u veći polukrug ako su im promjeri paralelni, krajevi promjera manjeg polukruga leže na polukružnici većeg polukruga i polukružnica manjeg polukruga dodiruje promjer većeg polukruga.

Dan je niz polukrugova $K_1, K_2, K_3, \ldots$, pri čemu je, za svaki $n \in \mathbb{N}$, polukrug $K_{n+1}$ pravilno smješten u polukrug $K_n$. Područje koje pripada polukrugu $K_n$ i ne pripada polukrugu $K_{n+1}$ obojeno je plavom ako je $n$ neparan, a žutom bojom ako je $n$ paran broj. Polumjer polukruga $K_1$ iznosi $1$. Odredi ukupnu površinu obojenu plavom bojom.

Neka je $n \geq 2$ prirodan broj. Ploči dimenzija $n \times n$ odstranjena su dva nasuprotna kutna polja. Na koliko načina je na tu ploču moguće postaviti $n$ figura tako da nikoje dvije ne budu u istom retku ili stupcu?

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$\begin{aligned} (x^2 + 1)y &= z^2 + 1 \\ (y^2 + 1)z &= x^2 + 1 \\ (z^2 + 1)x &= y^2 + 1. \end{aligned}$$

Na šahovskom turniru sudjelovali su dječaci i djevojčice. Svaki je natjecatelj odigrao po jednu partiju sa svakim drugim natjecateljem, a nijedna partija nije završila neodlučenim rezultatom. Odredi najmanji mogući broj natjecatelja na turniru ako je poznato da je svaka djevojčica pobijedila barem $21$ dječaka i da je svaki dječak pobijedio barem $12$ djevojčica.

Prirodni broj zovemo babilonskim ako je veći od $9$ i ako je njegov zapis u sustavu s bazom $60$ jednak njegovom dekadskom zapisu bez vodeće znamenke. Npr. broj $123$ je babilonski jer je $123 = (23)_{60}$. Koliko ima babilonskih brojeva manjih od $10\,000$?

Neka je $n$ prirodni broj. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut takav da je $|BC| > |AC|$. Simetrala dužine $\overline{AB}$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $P$, a pravac $AC$ u točki $Q$. Točka $R$ je nožište okomice iz točke $P$ na stranicu $\overline{AC}$, a točka $S$ je nožište okomice iz točke $Q$ na pravac $BC$.

Dokaži da pravac $RS$ raspolavlja dužinu $\overline{AB}$.

Ploča $P$ je dobivena uklanjanjem tri polja u kutovima ploče $7 \times 7$. U svako od $46$ polja ploče $P$ upisan je neki prirodni broj. Razlika brojeva u bilo koja dva polja koja imaju zajedničku stranicu je najviše $4$. Dokaži da su u neka dva polja upisani isti brojevi.

Neka je $d$ prirodni broj te $(a_n)$ aritmetički niz prirodnih brojeva s razlikom $d$. Ako je $d \leqslant 2018$, dokaži da najviše $11$ uzastopnih članova niza $(a_n)$ mogu biti prosti brojevi.

U prostoriji se nalazi sedam osoba. Četiri od njih poznaju točno po jednu osobu, a preostale tri osobe poznaju točno po dvije osobe. Sva poznanstva su uzajamna.

Kolika je vjerojatnost da se dvije slučajno odabrane osobe međusobno ne poznaju?

Koliko ima prirodnih brojeva $c \leqslant 1\,000\,000$ koji se mogu prikazati u obliku $$c = a^2 + 3b^2 - 4ab$$ za neke cijele brojeve $a$ i $b$ različite od $0$?

Dan je niz pozitivnih realnih brojeva $a_0, a_1, a_2, \ldots$ takvih da vrijedi $$a_1 = 1 - a_0, \quad a_{n+1} = 1 - a_n(1 - a_n) \text{ za } n \geqslant 1.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi $$a_0a_1 \cdots a_n\left(\frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}\right) = 1.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$. Tangente u točkama $A$ i $B$ na kružnicu opisanu tom trokutu sijeku se u točki $M$. Paralela sa stranicom $\overline{BC}$ kroz točku $M$ siječe stranicu $\overline{CA}$ u točki $N$. Dokaži da je $|BN| = |CN|$.

Na kružnici je označeno $3000$ točaka. U jednoj od tih točaka nalazi se skakavac. Skakavac svakim skokom preskače jednu ili dvije označene točke u smjeru kazaljke na satu i staje na sljedeću označenu točku. Odredi koliko je najmanje skokova skakavac napravio ako je na svaku označenu točku stao barem jednom i vratio se u točku iz koje je krenuo.

Neka su $a_0, a_1, \ldots, a_n$ realni brojevi takvi da je $$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n = (x + 1)^3(x + 2)^3 \cdots (x + 672)^3.$$ Odredi zbroj $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{2016}.$$

Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geq 3$ postoji $n$ različitih prirodnih brojeva čiji je zbroj reciprocnih vrijednosti jednak $1$.

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ u kojem je $|AB| < |AC|$, točka $D$ leži na stranici $\overline{BC}$. Okomica iz točke $B$ na pravac $AD$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABD$ u točkama $B$ i $E$. Ako su pravci $DE$ i $AC$ međusobno okomiti, dokaži da je $AD$ simetrala kuta $\measuredangle BAC$.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$(7a - b)^2 = 2(a - 1)b^2.$$

Neka je $n$ prirodni broj. Na koliko načina možemo tablicu $n \times n$ popuniti brojevima $1, 2, -1, -2$ tako da umnožak brojeva u svakom retku bude jednak $-2$ i da umnožak brojeva u svakom stupcu bude također jednak $-2$?

Neka je $a = \sqrt[2015]{2015}$ i neka je $(a_n)$ niz takav da je $a_1 = a$ i $a_{n+1} = a^{a_n}$ za $n \geqslant 1$.

Postoji li prirodni broj $n$ takav da je $a_n \geqslant 2015$?

Jedna stranica kvadrata leži na pravcu $y = 2x - 17$, a preostala dva vrha leže na paraboli $y = x^2$. Odredi površinu tog kvadrata.

Neka je $n$ prirodni broj i neka su $a_0, a_1, \ldots, a_{2n} \in \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ realni brojevi takvi da je $$\tg a_k = 2^{k-n} \quad \text{za} \quad k = 0, 1, \ldots, 2n.$$

Izračunaj zbroj $a_0 + a_1 + \cdots + a_{2n}$.

Za prirodan broj kažemo da je zvrkast ako u dekadskom zapisu ima $100$ znamenaka i ako uklanjanjem bilo koje njegove znamenke nastaje $99$-znamenkasti broj djeljiv sa $7$.

Koliko ima zvrkastih prirodnih brojeva?

Ukrug je poredano konačno mnogo realnih brojeva. Svaki broj je obojan u crveno, bijelo ili plavo. Svaki crveni broj dvaput je manji od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva, svaki bijeli broj jednak je zbroju dvaju njemu susjednih brojeva, a svaki plavi broj je dvaput veći od zbroja dvaju njemu susjednih brojeva. Neka je $b$ zbroj svih bijelih brojeva, a $p$ zbroj svih plavih brojeva, pri čemu su oba zbroja različita od $0$.

Odredi omjer $\frac{b}{p}$.