Local Competitions

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AC$, a točka $C'$ je osnosimetrična slika točke $C$ s obzirom na pravac $AB$. Kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku se u točkama $A$ i $P$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ABC$ leži na pravcu $AP$.

Polja ploče dimenzija $N \times N$ obojana su u crno i bijelo tako da su polja koja imaju zajedničku stranicu različite boje i tako da je barem jedno polje u kutu ploče crne boje. U pojedinom koraku odabire se kvadrat dimenzija $2 \times 2$ i sva četiri polja unutar tog kvadrata mijenjaju boju tako da bijela polja postaju crna, crna postaju siva, a siva postaju bijela.

Odredi sve prirodne brojeve $N > 1$ za koje je konačnim nizom opisanih koraka moguće postići da sva polja koja su na početku bila crna budu bijela i da sva polja koja su na početku bila bijela budu crna.

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Dana je dužina $\overline{AD}$ duljine 3. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $\overline{AD}$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ takve da vrijedi $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{7}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $$c = a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}.$$ Dokaži da je $c$ kvadrat nekog prirodnog broja.

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5. Odredi broj točaka svake boje.

Oko okruglog stola nalazi se deset stolica označenih redom brojevima od $1$ do $10$ (pri čemu su stolice $1$ i $10$ susjedne) i na svakoj sjedi po jedan vitez. Svaki vitez na početku ima paran broj zlatnika. Istovremeno svaki vitez pokloni polovinu svojih zlatnika svom lijevom susjedu, a pola svojih zlatnika svom desnom susjedu. Nakon toga vitez na stolici $1$ ima $22$ zlatnika, a svaki idući za dva više, sve do viteza na stolici $10$ koji ima $40$ zlatnika. Koliko je zlatnika na početku imao vitez koji na kraju ima $36$ zlatnika?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n$ takav da $6^n - 1$ dijeli $7^n - 1$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^4 + 3ab^3}{a^3 + 2b^3} + \frac{b^4 + 3bc^3}{b^3 + 2c^3} + \frac{c^4 + 3ca^3}{c^3 + 2a^3} \leqslant 4.$$

Na ploči se nalazi prvih $n$ prirodnih brojeva ($n \geqslant 3$). Ante ponavlja sljedeći postupak: najprije po volji bira dva broja na ploči, a zatim ih povećava za isti proizvoljni iznos.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje Ante, ponavljanjem tog postupka, može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $C$ i $E$, a kružnicu $k_2$ u točkama $D$ i $F$ tako da se točka $D$ nalazi između $C$ i $E$, a točka $E$ između $D$ i $F$. Pravci $CA$ i $BF$ sijeku se u točki $G$, a pravci $DA$ i $BE$ u točki $H$. Dokaži da je $CF \parallel HG$.

Odredi najmanji prirodni broj $a$ takav da je vrijednost izraza

$$\frac{n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + a}{n^2 - 1}$$

za $n = 2014$ cijeli broj djeljiv sa $3$.

Na igralištu se nalazi $2014$ sportaša koji na dresovima imaju brojeve od $1$ do $2014$ (svaki broj je na točno jednom dresu). Na početku su svi u stojećem položaju. U određenim vremenskim intervalima trener uzvikuje redom sve prirodne brojeve od $1$ do $2014$. Sportaši kojima je na dresu višekratnik uzviknutoga broja odmah mijenjaju svoj položaj iz stojećeg položaja u čučanj ili obratno.

Koliko je sportaša u čučnju nakon što trener uzvikne broj $2014$?

Dužina $\overline{AB}$ je promjer kružnice sa središtem $O$. Na kružnici je dana točka $C$ takva da je $OC$ okomito na $AB$. Na kraćem luku $\widehat{BC}$ odabrana je točka $P$. Pravci $CP$ i $AB$ sijeku se u točki $Q$, a točka $R$ je sjecište pravca $AP$ i okomice kroz $Q$ na pravac $AB$.

Dokaži da je $|BQ| = |QR|$.

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Andrija i Boris imaju $2014$ karata označenih brojevima od $1$ do $2014$. Andrija ima sve karte s parnim, a Boris sve karte s neparnim brojevima. Andrija je poredao svoje karte ukrug redom, od $2$ do $2014$, u smjeru kazaljke na satu tako da se brojevi na kartama ne vide. Boris zna da su karte poredane tim redom i u tom smjeru, ali ne zna gdje se nalazi karta s brojem $2$. Nakon toga, Boris na svaku Andrijinu stavi po jednu od svojih karata i tako nastane $1007$ parova karata. Za svaki se par usporedi brojeve na kartama i dodijeli jedan bod onom igraču na čijoj je karti veći broj.

Odredi najveći mogući $N$ tako da Boris može biti siguran da će ostvariti barem $N$ bodova.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2} \\ y^{2} - z &= x^{2} \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $k$ i $n$ takvi da vrijedi

$$k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1).$$

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi

$$\left(1 + \frac{c}{a}\right) \left(1 + \frac{c}{b}\right) \geqslant 3 + 2\sqrt{2}.$$

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Brojevi $1, 2, \ldots, 10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove.

Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{1}{3}(a + b + c)^2 \leqslant a^2 + b^2 + c^2 + 2(a - b + 1).$$

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\measuredangle BGE$ pravi.

Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF| = |CF|$.

Azra je zamislila četiri realna broja i na ploču zapisala zbrojeve svih mogućih parova zamišljenih brojeva, a zatim obrisala jedan od tih zbrojeva. Na ploči su ostali brojevi $-2$, $1$, $2$, $3$ i $6$. Koje je brojeve Azra zamislila?

Odredi $x_{1006}$ ako je

$$\frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 3} = \frac{x_3}{x_3 + 5} = \dots = \frac{x_{1006}}{x_{1006} + 2011},$$

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{1006} = 503^2.$$

Izvan pravilnog mnogokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se točka $B$ takva da je trokut $A_1A_2B$ jednakostraničan. Odredi sve $n$ za koje su točke $B$, $A_2$ i $A_3$ uzastopni vrhovi nekog pravilnog mnogokuta.

Četiri prirodna broja $a, b, c, d$ zadovoljavaju jednakosti

$$a + b = c, \quad a + d = 2c.$$

Pokaži da postoji pravokutni trokut površine $abcd$ kojemu su duljine svih stranica prirodni brojevi.

Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$. Kružnica koja prolazi točkom $E$, vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$. Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

Supružnici Ana i Tomislav došli su na zabavu na kojoj su sudjelovala još četiri para. Prilikom dolaska dogodio se izvjestan broj rukovanja. Pritom se nitko nije rukovao sa svojim bračnim drugom niti sa samim sobom. Kada je kasnije Tomislav upitao sve prisutne s koliko su se osoba rukovali, dobio je devet različitih odgovora. S koliko se osoba rukovala Ana?

U šesterokutu $ABCDEF$ vrijedi $$AB \perp BC, \quad AC \perp CD, \quad AD \perp DE, \quad AE \perp EF.$$

Ako su duljine stranica tog šesterokuta prirodni brojevi, dokaži da ne mogu svi biti neparni.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$\frac{1 - a^2 + c^2}{c(a + 2b)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a(b + 2c)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b(c + 2a)} \geqslant 6.$$

Na $n$ kartica napisane su rečenice:

$$\emph{"Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno."}$$

za $k = 0,1,2,\ldots,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

U trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle ACB = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle CBA$, a $M$ je polovište dužine $BC$. Kružnica sa središtem u točki $A$ siječe pravac $BC$ u točkama $M$ i $D$.

Dokaži da je $|MD| = |AB|$.

Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula.

U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$.

Kažemo da je prirodni broj $n$ dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$.

a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv.

b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.

Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi, takvi da je $xyz = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3 + z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3 + x^3}{z^2 + zx + x^2} \geq 2.$$

Dan je pravilni deveterokut sa stranicom duljine $a$. Kolika je razlika duljina njegove najdulje i najkraće dijagonale?

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom s lijeva na desno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

Neka su $a, b, c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva

$$(a + b + c)^2 - 9ab, \quad (a + b + c)^2 - 9bc, \quad (a + b + c)^2 - 9ca$$

nenegativan.

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva oblika $\overline{37abc}$ takvih da je svaki od brojeva $\overline{37abc}$, $\overline{37bca}$ i $\overline{37cab}$ djeljiv s $37$?

Neka je $OAB$ četvrtina kruga sa središtem $O$ polumjera $1$. Nad dužinama $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$, kao promjerima, konstruirane su polukružnice s unutarnje strane dane četvrtine kruga. Izračunaj polumjer kružnice koja dodiruje te dvije polukružnice i luk $\widehat{AB}$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva

$$n + 1, n + 2, \ldots, n + 12$$

nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

Nadite realna rješenja sustava jednadžbi: $$x + y + z = 2$$ $$(x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = 1$$ $$x^{2}(y + z) + y^{2}(z + x) + z^{2}(x + y) = -6$$

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.

b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$.